Úvod

Pýtate sa, čo tieto obrázky majú s témou spoločné? Nuž na prvý pohľad málo, no aj pri prvočíslach ide o kľúčovú otázku. Je za tým God of chaos or God of structure? Môžeme ich aj premenovať na Boha entropie a Boha fraktálov.

V minulých dieloch Prvočísla diel 1, Prvočísla diel 2, Prvočísla diel 3 sme stručne prebrali dôležité súvislosti s prvočíslami a Riemanovou hypotézou. Z týchto informácii, aj keď nie su rozobrané do najmenších podrobnosti sa dá usúdiť, že Riemannova hypotéza je prakticky dokázaná. Pre naozaj veľké čísla sú stále korene na kritickej priamke.

V podstate skutočný dôkaz pre celú číselnú os nám nemusí priniesť nejaké ďalšie nepoznané súvislosti pre prvočísla. Myslím si, že nám môže priniesť iba to, že naozaj to pokračuje na tej kritickej priamke ľubovoľne ďaleko.

Tak som sa rozhodol, keď už som tomu venoval nejaký ten čas na preštudovanie tejto hypotézy, že budem v rámci možnosti času a chuti pokračovať v hľadaní nie dôkazu Riemannovej hypotézy, ale toho, či prvočísla vykazujú fraktálnu štruktúru, pattern, vzorec, nech už si to nazveme akokoľvek... 

Prvý odhad

O tom čo je to vlastne chaos a čo poriadok som sa venoval v článkoch v minulosti a hlavne v Knihe EDQ teórie o priestore a čase (nájdete v eshope).

Odhad človeka je výsledkom jeho neurónovej siete, skúsenosti, vedomosti. Prvočísla sú naozaj ťažký problém, ktorý odoláva času. Teda dobré vysvetlenie (odhad) je to, že za tým je schovaný aj chaos. Myslené je to tak, že predvídanie prvočísiel nevykazuje žiaden jednoznačný opakujúci sa vzor (jednoducho spočitatelný). Čo to vlastne je chaos? Pod chaosom si predstavujú ľudia rôzne veci..

Tento článok je vlastne takým úvodom do vlastného, súkromného bádania po fraktáloch prvočísiel. No samozrejme je celkom možné, že to vzdám, resp. ma zaujme niečo iné a nebudem sa tomu venovať ďalej.

Viem si celkom dobre predstaviť použitie zbrane hromadného ničenia - teda umelej neuronóvej siete, ktorá bude prehľadávať stavový priestor, kým nenájde fraktály. Nechajme ju predvídať, ktoré číslo bude prvočíslo a ona sa to v budúcnosti možno naučí. Bohužial ten "pattern", ktorý nájde bude v inej forme jej schémy zakódovaný (pojde to, ale rozkódovať do matematických vzťahov), no bude to aspoň niečo...

Takéhoto pomocníka nemám, problém je naozaj veľmi obťiažny, takže uvidíme..

Mersennovo prvočíslo

Godlbachova domnienka

O niečo jednoduchší problém je tzv. Goldbachová domnienka, ktorá sa formuluje:

- Každé párne celé číslo väčšie ako 2 sa dá vyjadriť ako súčet dvoch prvočísel. Táto domnienka sa dá pekne geometricky interpretovať, znázorniť.

Základné vlastnosti prvočísiel

Vráťme sa znova k základným vlastnostiam prvočísiel a k tvrdeniam: z článku Prvočísla – Riemannova hypotéza – 2. diel.

Vlastnosť:

• Každé zložené číslo sa dá rozložiť na súčin prvočísiel.

• Tvrdenie B.

Toto tvrdenie vlastne hovorí, že na to, aby sme vedeli rozhodnúť, či je práve toto číslo prvočíslo musíme poznať predchádzajúce prvočísla.

Z toho sa dá usúdiť, že nejaký jednoduchý vzťah pre hľadanie prvočísiel je nepravdepodobný. Ilustrujeme si toto tvrdenie na geometrickom obrázku plochy o veľkosti – S, ktorá ma vždy celočíselný obsah.

Obr.3 Plocha prvočísiel, zdroj: vlastný obrázok.

Teda hľadáme plochu obdĺžnika (platí pre zložené číslo)

• S(x,y)=x*y, pričom x,y sú celočíselné premenné. Takýmto spôsobom pre veľké číslo dostaneme rôzne obdĺžniky o rôznych stranách. U zložených čísiel teda vždy existuje aspoň jeden obdĺžnik o hrane x, y.

• Pre prvočísla však neexistuje ani jeden obdĺžnik x, y, okrem obdĺžnika, ktorý ma jednu hranu „1“.

• Každý obdĺžnik (teda zložené číslo) nakoniec rozbijeme na menšie obdĺžniky, kde hrany obdĺžnikov budú práve prvočísla:

Príklad:

S(99)=33*3

S(33) rozbijeme na S(33)=3*11

Teda celú plochu S(99) rozbijeme na 3 obdĺžniky o hrane (3,11).

Z toho teda plynie toto:

Ak chceme prehlásiť, či je niektoré, skúmané číslo prvočíslo - n, musíme toto číslo podeliť všetkými, predchádzajúcimi prvočíslami (min do 1/3n, dá sa to zistiť presne). Ak výsledok podielu nie je ani raz celé číslo, potom skúmané číslo je prvočíslo.

Ani R(x): Riemannova funkcia (viď. diel 2) nie je jednoduchá čarovná formula, ale je definovaná ako nekonečný rad funkcie Li(x). Zatiaľ nemám znalosti ako rýchlo konverguje funkcia R(x). Z toho, čo som sa dočítal konverguje celkom rýchlo. V tom prípade by Riemanová funkcia R(x) aproximala prvočísla rýchlejšie ako Eratostenovo sito, skúsim to v budúcnosti preskúmať detailnejšie.

Energetické hladiny elektrónov súvisia s prvočíslami, pretože Kvantový svet je diskrétny, teda ako keby celočíselný, čo úzko súvisí s prvočíslami.

http://hradec.org/idnes/primes.html

Na väčšej škále: 

napr. obrázok Ulamovej špirály : Prvočísla, diel 3.

Na prvý pohľad sa tam neopakuje žiaden vzor, no toto by bolo najlepšie preskúmať cez počítač, ktorý by prešiel rôzne dlhé reťazce. Predpokladám, že niekto toto už skúšal a nič také nenašiel, nejaký vzor s nejakou periódou opakujúci sa neustále ďalej. Pre náročnosť takéhoto hľadania, to skúmať osobne nebudem. Navyše by vzor riedol s funkciou x/lnx (Gauss).

Malá Fermatova veta

a - je celé číslo, p - je prvočíslo, b - je celé číslo.

Príklad:

Wolfram príklad (môžete meniť premenné):

Prehľad algoritmov

• Lucas -Lehmerov test.
• Rabin - Millerov test.
• ECPP.
• iné.
  

Dôkazy malej Fermatovej vety

• Výsledkom vzťahu, pokiaľ je splnená podmienka p= prvočíslo, no platí to aj pre zložené čísla, potom výsledok vzťahu je vždy párne číslo. Nutná a postačujúca podmienka je, aby výsledkom vzťahu bolo celé číslo.