Opravené práce z augusta 2026 uvádzajú čiastkové výsledky o kandidátnych cykloch a presné identity pre konečné úseky trajektórií. Všeobecné vylúčenie netriviálnych cyklov aj neobmedzeného rastu zostáva otvorené. Predchádzajúci záver o úplnom vylúčení nekonečného rastu bol stiahnutý.

The revised August 2026 papers give partial results on candidate cycles and exact identities for finite orbit segments. The general exclusion of nontrivial cycles and unbounded growth remains open. The previous conclusion excluding all infinite growth has been withdrawn.

Časť I: kandidátne cykly

Part I: candidate cycles

Pre kladný celočíselný vektor exponentov \(p=(p_1,\ldots,p_a)\) položme \(b=\sum_i p_i\), \(s_0=0\) a \(s_k=\sum_{i=1}^{k}p_i\).

For a positive integer exponent vector \(p=(p_1,\ldots,p_a)\), put \(b=\sum_i p_i\), \(s_0=0\), and \(s_k=\sum_{i=1}^{k}p_i\).

Podľa opraveného diofantického mosta vektor uzatvára kladný prípustný cyklus práve vtedy, keď \(D>0\) a \(D\mid S(p)\); potom \(n_0=S(p)/D\). Dôkaz používa aj cyklické rotácie, ktoré zabezpečujú celočíselnosť a prípustnosť krokov. Samotné ľubovoľné formálne slovo v zobrazeniach \(3x+1\) a \(x/2\) nemusí byť Collatzovou trajektóriou.

The corrected Diophantine bridge states that the vector closes to a positive admissible cycle exactly when \(D>0\) and \(D\mid S(p)\); then \(n_0=S(p)/D\). Its proof also uses cyclic rotations to establish integrality and admissibility of the steps. An arbitrary formal word in the maps \(3x+1\) and \(x/2\) need not be a Collatz trajectory.

Časť I vylučuje netriviálne kandidátne cykly bez exponentu 1; výnimkou je triviálne slovo zložené iba z exponentov 2. V triede \(p_i\in\{1,2\}\) vylučuje prípady s presne jedným, dvoma alebo troma výskytmi exponentu 1. Ďalšie kongruenčné certifikáty riešia vybrané podtriedy.

Part I excludes nontrivial candidate cycles with no exponent equal to 1; the all-2 word gives the trivial exception. Within \(p_i\in\{1,2\}\), it excludes cases containing exactly one, two, or three entries equal to 1. Further congruence certificates address selected subclasses.

Tieto vylúčenia nepokrývajú všetky kladné exponentové vektory. Práca výslovne uvádza zostávajúce aritmetické problémy a netvrdí dôkaz celej Collatzovej domnienky.

These exclusions do not cover all positive exponent vectors. The paper explicitly identifies the remaining arithmetic problems and does not claim a proof of the full Collatz conjecture.

Časť II: rast a limity 3-adickej metódy

Part II: growth and limits of the 3-adic method

Časť II zachováva modulárne obmedzenia a blokové identity. Kontrakcia v 3-adickej metrike platí pre pevne zvolenú vetvu či exponentové slovo. Prepínajúca Syracuseova mapa závislá od \(v_2(3n+1)\) z toho všeobecnú kontrakciu nezískava; opravený text dokazuje jej nespojitosť v indukovanej 3-adickej topológii.

Part II retains modular restrictions and block identities. Contraction in the 3-adic metric holds for a fixed branch or exponent word. The switching Syracuse map, which depends on \(v_2(3n+1)\), does not inherit a general contraction result; the revised text proves its discontinuity in the induced 3-adic topology.

Pre neuzavretý úsek platí táto koncová identita. Cyklovú rovnicu \(Dn_0=S(p)\) možno použiť až pri \(n_a=n_0\). Ľubovoľne presné kongruenčné návraty samy osebe nedávajú rovnosť celých čísel ani dôkaz zostupu každej trajektórie.

This endpoint identity applies to a nonclosed segment. The cycle equation \(Dn_0=S(p)\) is available only when \(n_a=n_0\). Arbitrarily deep congruent returns alone do not establish equality of integers or descent of every orbit.

Ktoré verzie čítať

Which versions to read

Obe uvedené verzie boli publikované 2. augusta 2026. Rozsah výsledkov sa riadi opraveným obsahom PDF; staršie názvy a popisy záznamov na Zenode ešte môžu používať pôvodné silnejšie formulácie.

Both versions below were published on 2 August 2026. The scope of the results follows the revised PDF content; older titles and descriptions on Zenodo may still use the original stronger wording.

• Part I: Candidate Cycles — Corrected Framework (PDF, EN) · Zenodo 21760552
• Part II: Constraints on Infinite Growth and Limits of the 3-adic Method (PDF, EN) · Zenodo 21760570
• Collatz — research repository / výskumný repozitár

Prehľad aktuálneho výskumu

Current research overview