SK | EN

EDQ: Minimálne kroky kompatibility s VTR a QFT

EDQ: Minimal Compatibility Steps with GR and QFT

Tento dokument nedáva hotový dôkaz. Je to stručný zoznam toho, čo musí EDQ ukázať v limite, aby bolo férové hovoriť o zhode s VTR a QFT. Každý bod je konkrétna požiadavka na správanie mriežky \(\Omega\).

This document does not provide a finished proof. It is a short checklist of what EDQ must show in the limit to claim consistency with GR and QFT. Each item is a concrete requirement on the behavior of the \(\Omega\) grid.

Čo znamená „kompatibilita v limite“

What “compatibility in the limit” means

Aktuálny stav krokov

Current status of steps

Krok 1: Lorentzova invariancia a relativistické rovnice

Step 1: Lorentz invariance and relativistic equations

EDQ musí ukázať, že dlhovlnné excitácie na mriežke \(\Omega\) nemajú preferovaný rámec a v limite rešpektujú Lorentzovu symetriu. Znamená to správny disperzný vzťah, správnu maximálnu rýchlosť signálu a správnu transformáciu energie a hybnosti.

EDQ must show that long-wavelength excitations on the \(\Omega\) grid have no preferred frame and respect Lorentz symmetry in the limit. This requires the correct dispersion relation, a correct maximum signal speed, and the correct transformation of energy and momentum.

Cieľový disperzný vzťah (v limite): Target dispersion relation (in the limit):
\[ E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4 \]

Rovnice, ktoré musia v limite vyjsť: Equations that must appear in the limit:
\[ \left(\Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2}\right)\phi = 0 \quad \text{(Klein-Gordon)} \] \[ (i\gamma^\mu \partial_\mu - m c/\hbar)\psi = 0 \quad \text{(Dirac)} \]

Prípustné korekcie (musia byť potlačené v merateľnom limite): Allowed corrections (must be suppressed in the measurable limit):
\[ E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4 + \mathcal{O}\!\left((p a)^n\right), \; n \ge 2 \]

EDQ pracovný mechanizmus

EDQ working mechanism

Čo treba explicitne odvodiť

What must be explicitly derived

Indikátory zhody v limite

Limit-agreement indicators

Falsifikátory kompatibility

Compatibility falsifiers

Krok 2: Kalibračné symetrie a interakcie (QFT limit)

Step 2: Gauge symmetries and interactions (QFT limit)

EDQ musí vysvetliť, prečo sa lokálne fázy a väzbové premenné na hranách správajú ako kalibračné stupne voľnosti. Minimálna požiadavka je U(1) elektromagnetizmus a jeho prechod do Maxwellových rovníc.

Okrem samotnej symetrie musí v limite vzniknúť aj unitárny a lokálne kauzálny opis, ktorý zachováva nábojové prúdy a vedie na správne rozptylové amplitúdy.

EDQ must explain why local phases and edge link variables behave as gauge degrees of freedom. The minimal requirement is U(1) electromagnetism and its reduction to Maxwell’s equations.

Beyond the symmetry itself, the limit must also be unitary and locally causal, preserving charge currents and yielding the correct scattering amplitudes.

V tejto časti používame prirodzené jednotky \(\hbar = c = 1\), pokiaľ nie je uvedené inak. In this section we use natural units \(\hbar = c = 1\), unless stated otherwise.
Lokálna symetria fázy a kovariantná derivácia: Local phase symmetry and covariant derivative:
\[ \psi \rightarrow e^{i q \alpha(x)} \psi \] \[ D_\mu = \partial_\mu + i q A_\mu \]

Elektromagnetické pole ako krivka spojenia: Electromagnetic field as curvature of the connection:
\[ F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \]

Mini-odvodenie Maxwella z diskrétnej U(1) mriežky

Mini derivation of Maxwell from a discrete U(1) lattice

Toto je štandardné mriežkové odvodenie. V EDQ platí za predpokladu, že dlhovlnná efektívna dynamika je lokálna, unitárna a kalibračne invariantná.

This is the standard lattice-gauge derivation. In EDQ it applies provided the long-wavelength effective dynamics is local, unitary, and gauge invariant.

Dôležité: \(\psi\) je spinorové pole hmoty (fermióny), ale \(A_\mu\) je vektorové kalibračné pole (spin-1 excitácie). Tieto objekty nemajú rovnaký transformačný zákon.

Important: \(\psi\) is a spinor matter field (fermions), while \(A_\mu\) is a vector gauge field (spin-1 excitations). These objects do not share the same transformation law.

Na hranách mriežky definujeme hranové premenné \(U_\mu(x)=\exp(i q a A_\mu(x))\). Nižšie používame jednosektorové značenie s jedným efektívnym väzbovým parametrom \(q\). U(1) kalibračná transformácia má tvar:

On lattice edges we define link variables \(U_\mu(x)=\exp(i q a A_\mu(x))\). Below we use a single-sector notation with one effective coupling \(q\). The U(1) gauge transformation is:

\[ \psi(x)\to e^{i q \alpha(x)}\psi(x), \qquad U_\mu(x)\to e^{i q \alpha(x)}\,U_\mu(x)\,e^{-i q \alpha(x+a\hat\mu)} \]

Najmenšia kalibračne invariantná slučka (plaquette) je:

The smallest gauge-invariant loop (plaquette) is:

\[ U_{\mu\nu}(x)=U_\mu(x)U_\nu(x+a\hat\mu)U_\mu^\dagger(x+a\hat\nu)U_\nu^\dagger(x) = \exp\!\big(i q a^2 F_{\mu\nu}(x)+\mathcal{O}(a^3)\big) \]

Odvodenie plaquette člena z EDQ mikrokroku: nech mikrodynamika na hrane má tvar komplexnej amplitúdy \(T_\mu(x)=r_\mu(x)e^{i\phi_\mu(x)}\), kde vo vákuu \(r_\mu\approx 1\) a fáza nesie lokálnu informáciu o prechode. Po oddelení amplitúdovej časti dostaneme fázový hranový faktor \(U_\mu(x)=e^{i\phi_\mu(x)}\).

Deriving the plaquette term from the EDQ micro-step: let edge-level micro-dynamics be a complex amplitude \(T_\mu(x)=r_\mu(x)e^{i\phi_\mu(x)}\), with \(r_\mu\approx 1\) in vacuum and the phase carrying local transition information. After factoring out the amplitude part, we obtain the phase link \(U_\mu(x)=e^{i\phi_\mu(x)}\).

Lokálne prefázovanie \(\psi(x)\to e^{iq\alpha(x)}\psi(x)\) mení hranový faktor ako \(U_\mu(x)\to e^{iq\alpha(x)}U_\mu(x)e^{-iq\alpha(x+a\hat\mu)}\). Preto žiadny člen lineárny v \(U_\mu\) nie je lokálne invariantný; najnižší lokálny invariant bez hmoty je slučka \(U_{\mu\nu}\) (plaquette).

A local rephasing \(\psi(x)\to e^{iq\alpha(x)}\psi(x)\) transforms the link as \(U_\mu(x)\to e^{iq\alpha(x)}U_\mu(x)e^{-iq\alpha(x+a\hat\mu)}\). Therefore, no term linear in \(U_\mu\) is locally invariant; the lowest local invariant in the pure gauge sector is the loop \(U_{\mu\nu}\) (plaquette).

Teda pole \(F_{\mu\nu}\) sa objaví ako krivosť spojenia v kontinuálnom limite. Pre kalibračnú časť akcie použijeme štandardný plaquette člen (s normalizačnou konštantou \(\kappa\)):

So \(F_{\mu\nu}\) appears as the connection curvature in the continuum limit. For the gauge part of the action we use the standard plaquette term (with normalization constant \(\kappa\)):

\[ S_g = \kappa \sum_{x,\mu<\nu}\!\left(1-\mathrm{Re}\,U_{\mu\nu}(x)\right) \;\longrightarrow\; \frac{\kappa q^2}{4}\!\int d^4x\,F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \]

Rozvoj pri slabom poli: \(\Theta_{\mu\nu}\equiv q a^2F_{\mu\nu}\), takže \(1-\mathrm{Re}\,U_{\mu\nu}=1-\cos\Theta_{\mu\nu}\approx \Theta_{\mu\nu}^2/2\). Potom

Weak-field expansion: \(\Theta_{\mu\nu}\equiv q a^2F_{\mu\nu}\), so \(1-\mathrm{Re}\,U_{\mu\nu}=1-\cos\Theta_{\mu\nu}\approx \Theta_{\mu\nu}^2/2\). Then

\[ S_g \approx \frac{\kappa q^2 a^4}{2}\sum_{x,\mu<\nu}F_{\mu\nu}^2 \;\xrightarrow[\sum_x a^4\to \int d^4x]{}\; \frac{\kappa q^2}{4}\int d^4x\,F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \]

Tým je explicitné, odkiaľ vzniká člen \(1-\mathrm{Re}\,U_{\mu\nu}\): je to najnižší lokálny kalibračne invariantný člen kompatibilný s unitaritou a lokalitou mikrokroku; vyššie slučky dávajú iba vyššie rády v \(a\).

This makes explicit where the \(1-\mathrm{Re}\,U_{\mu\nu}\) term comes from: it is the lowest local gauge-invariant term compatible with micro-step unitarity and locality; larger loops only contribute higher orders in \(a\).

Po pridaní väzby na prúd \(S_{\text{int}}=-\int d^4x\, j^\mu A_\mu\) dá variácia akcie inhomogénnu Maxwellovu rovnicu (s normalizáciou z \(\kappa q^2\)):

After adding coupling to current \(S_{\text{int}}=-\int d^4x\, j^\mu A_\mu\), action variation gives the inhomogeneous Maxwell equation (with normalization from \(\kappa q^2\)):

\[ \kappa q^2\,\partial_\mu F^{\mu\nu}=j^\nu \]

Po kanonickej normalizácii poľa a prúdu sa rovnica prepíše do štandardného tvaru \(\partial_\mu F^{\mu\nu}=j^\nu\).

After canonical normalization of field and current, the equation is written in the standard form \(\partial_\mu F^{\mu\nu}=j^\nu\).

Homogénna rovnica je geometrická identita vyplývajúca z definície \(F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu\):

The homogeneous equation is a geometric identity following from \(F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu\):

\[ \partial_{[\lambda}F_{\mu\nu]}=0 \]

To sú inhomogénne a homogénne Maxwellove rovnice v limite \(a\to 0\).

These are the inhomogeneous and homogeneous Maxwell equations in the \(a\to 0\) limit.

Odvodenie kontinuitnej rovnice náboja (U(1) mikrodynamika)

Derivation of the charge continuity equation (U(1) micro-dynamics)

Pre lokálne unitárny krok \(U=e^{-iH_{\text{eff}}\Delta t}\) s hermitovským lokálnym generátorom \(H_{\text{eff}}\) definujeme hustotu náboja \(\rho(x,t)\equiv \Psi^\dagger(x,t)\Psi(x,t)\). Z rovnice \(i\,\partial_t\Psi=H_{\text{eff}}\Psi\) plynie:

For a local unitary step \(U=e^{-iH_{\text{eff}}\Delta t}\) with Hermitian local generator \(H_{\text{eff}}\), define charge density \(\rho(x,t)\equiv \Psi^\dagger(x,t)\Psi(x,t)\). From \(i\,\partial_t\Psi=H_{\text{eff}}\Psi\), we obtain:

\[ \partial_t \rho(x,t)= i\Big[(H_{\text{eff}}\Psi)_x^\dagger\Psi_x-\Psi_x^\dagger(H_{\text{eff}}\Psi)_x\Big] \]

Ak je \(H_{\text{eff}}\) lokálny (najviac susedné väzby), pravá strana sa prepíše ako divergencia diskrétneho toku. Pre hranu \((x,x+a\hat{i})\) s väzbou \(K_i(x)\) a hranovým faktorom \(U_i(x)\) definujeme tok:

If \(H_{\text{eff}}\) is local (nearest-neighbor couplings), the right-hand side rewrites as a discrete divergence. For edge \((x,x+a\hat{i})\) with coupling \(K_i(x)\) and link \(U_i(x)\), define flux:

\[ J_i\!\left(x+\frac{a}{2}\hat{i},t\right) \equiv 2\,\mathrm{Im}\!\left[\Psi^\dagger(x,t)\,K_i(x)\,U_i(x)\,\Psi(x+a\hat{i},t)\right] \]

Potom v tomto lokálnom \(H_{\text{eff}}\) opise platí mriežková kontinuita:

Then, within this local \(H_{\text{eff}}\) description, the lattice continuity relation is:

\[ \partial_t \rho(x,t) +\frac{1}{a}\sum_i\!\left[ J_i\!\left(x+\frac{a}{2}\hat{i},t\right)- J_i\!\left(x-\frac{a}{2}\hat{i},t\right)\right]=0 \]

V dlhovlnnom limite \(a\to0\) dostávame \(\partial_t\rho+\nabla\!\cdot\!\mathbf{j}=0\), teda \(\partial_\mu j^\mu=0\).

In the long-wavelength limit \(a\to0\), this becomes \(\partial_t\rho+\nabla\!\cdot\!\mathbf{j}=0\), i.e. \(\partial_\mu j^\mu=0\).

Explicitný tvar prúdu \(j^\mu\) v EDQ Dirac-limite

Explicit current \(j^\mu\) in the EDQ Dirac limit

Pre 1D krok \(U(k)=e^{-ik a \sigma_z}e^{-i\theta\sigma_y}\) vychádza efektívna rovnica \(i\partial_t\psi=(-ic\,\sigma_z\partial_x+m c^2\sigma_y)\psi\), z ktorej plynie:

For the 1D step \(U(k)=e^{-ik a \sigma_z}e^{-i\theta\sigma_y}\), the effective equation is \(i\partial_t\psi=(-ic\,\sigma_z\partial_x+m c^2\sigma_y)\psi\), which gives:

\[ \rho=\psi^\dagger\psi, \qquad j_x=c\,\psi^\dagger\sigma_z\psi, \qquad \partial_t\rho+\partial_x j_x=0 \]

V 3D Dirac-limite (\(H_{\text{eff}}\approx c\,\boldsymbol{\alpha}\!\cdot\!\mathbf{p}+\beta m c^2\)) je prúd:

In the 3D Dirac limit (\(H_{\text{eff}}\approx c\,\boldsymbol{\alpha}\!\cdot\!\mathbf{p}+\beta m c^2\)), the current is:

\[ \rho=\psi^\dagger\psi, \qquad j_i=c\,\psi^\dagger\alpha_i\psi, \qquad j^\mu=\bar\psi\gamma^\mu\psi \]

Na mriežke (s U(1) hranovými faktormi \(U_i(x)\)) je prirodzený kalibračne kovariantný hranový tok; v Dirac-limite ide o špecializáciu generického toku s \(K_i=(c/2)\alpha_i\):

On the lattice (with U(1) links \(U_i(x)\)), the natural gauge-covariant edge flux is: in the Dirac limit this is the specialization of the generic flux with \(K_i=(c/2)\alpha_i\):

\[ J_i\!\left(x+\frac{a}{2}\hat{i},t\right) =\frac{c}{2}\!\left[\Psi^\dagger(x,t)\alpha_iU_i(x)\Psi(x+a\hat{i},t)+\mathrm{h.c.}\right] \] \[ \partial_t \rho(x,t)+\frac{1}{a}\sum_i\!\left[J_i\!\left(x+\frac{a}{2}\hat{i},t\right)-J_i\!\left(x-\frac{a}{2}\hat{i},t\right)\right]=0 \]

V limite \(a\to0\) tento tok prejde na \(j_i=c\,\psi^\dagger\alpha_i\psi\).

In the \(a\to0\) limit, this flux reduces to \(j_i=c\,\psi^\dagger\alpha_i\psi\).

Koeficient toku z prechodovej matice \(T\equiv U\)

Flux coefficient from the transition matrix \(T\equiv U\)

Merateľná normalizácia prúdu sa fixuje z lineárnej časti efektívneho generátora odvodeného z jednokrokovej matice \(U(\mathbf{k})\):

The measurable current normalization is fixed by the linear part of the effective generator derived from the one-step matrix \(U(\mathbf{k})\):

\[ H_{\text{eff}}(\mathbf{k}) \equiv \frac{i\hbar}{\Delta t}\,\log U(\mathbf{k}) \] \[ H_{\text{eff}}(\mathbf{k}) = H_0 + \sum_i \left.\frac{\partial H_{\text{eff}}}{\partial k_i}\right|_{\mathbf{k}=0} k_i + \cdots \]

Tu sa berie vetva \(\log U\) spojitá v okolí \(\mathbf{k}=0\) (nízkoenergetický sektor); pri izotropnom Dirac-limite \(c_i=c\).

Here \(\log U\) is taken on the branch continuous near \(\mathbf{k}=0\) (low-energy sector); in the isotropic Dirac limit, \(c_i=c\).

Porovnaním s Dirac-limitom \(H_{\text{eff}}\approx c\,\boldsymbol{\alpha}\!\cdot\!\mathbf{p}+\beta m c^2\) (\(p_i=\hbar k_i\)) dostaneme priamo:

Matching to the Dirac limit \(H_{\text{eff}}\approx c\,\boldsymbol{\alpha}\!\cdot\!\mathbf{p}+\beta m c^2\) (\(p_i=\hbar k_i\)) gives directly:

\[ c\,\alpha_i = \frac{1}{\hbar}\left.\frac{\partial H_{\text{eff}}}{\partial k_i}\right|_{\mathbf{k}=0}, \qquad c_i = \frac{1}{4}\,\mathrm{Tr}\!\left[\alpha_i\,\frac{1}{\hbar}\left.\frac{\partial H_{\text{eff}}}{\partial k_i}\right|_{\mathbf{k}=0}\right] \]

Pre 1D krok \(U(k)=e^{-ika\sigma_z}e^{-i\theta\sigma_y}\) to dáva \(c=a/\Delta t\), takže normalizácia toku v \(j_i=c\,\psi^\dagger\alpha_i\psi\) je určená priamo z \(U\).

For the 1D step \(U(k)=e^{-ika\sigma_z}e^{-i\theta\sigma_y}\), this yields \(c=a/\Delta t\), so the flux normalization in \(j_i=c\,\psi^\dagger\alpha_i\psi\) is fixed directly by \(U\).

Kalibrácia na SI jednotky (operačný predpis)

Calibration to SI units (operational recipe)

Na efektívnej úrovni sa SI mapovanie určí v troch krokoch:

At effective level, SI mapping is fixed in three steps:

\[ c_{\text{EDQ}}=\frac{a}{\Delta t}, \qquad c_{\text{EDQ}}\stackrel{!}{=}c_0 \] \[ C_{\text{EM}}\equiv \kappa q^2, \qquad C_{\text{EM}}\partial_\mu F^{\mu\nu}=j^\nu \] \[ C_{\text{EM}}\,\nabla\!\cdot\!\mathbf{E}=\rho \;\Rightarrow\; C_{\text{EM}}=\varepsilon_0 \] \[ \mu_0=\frac{1}{\varepsilon_0 c_0^2} \]

Identifikácia \(C_{\text{EM}}=\varepsilon_0\) je voľba SI normalizácie; v prirodzených jednotkách sa zvyčajne volí \(C_{\text{EM}}=1\).

The identification \(C_{\text{EM}}=\varepsilon_0\) is the SI normalization choice; in natural units one usually sets \(C_{\text{EM}}=1\).

Pre prechod z mriežkových hustôt/tokov do SI zaveďme nábojový faktor \(Q_0\):

For conversion from lattice densities/fluxes to SI, introduce charge factor \(Q_0\):

\[ Q_{\text{SI}}=Q_0\,Q_{\text{EDQ}}, \qquad \rho_{\text{SI}}=\frac{Q_0}{a^3}\rho_{\text{EDQ}}, \qquad \mathbf{J}_{\text{SI}}=\frac{Q_0}{a^2\Delta t}\mathbf{J}_{\text{EDQ}} \]

\(Q_0\) sa zafixuje jedným referenčným meraním náboja (napr. elementárny náboj \(e\)); potom Coulombov zákon a rýchlosť šírenia slúžia ako konzistenčné kontroly.

\(Q_0\) is fixed by one reference charge measurement (e.g., elementary charge \(e\)); then Coulomb’s law and propagation speed serve as consistency checks.

EDQ implikácia odvodenia (U(1) sektor)

EDQ implication of the derivation (U(1) sector)

Podpora z literatúry kvantových prechádzok (orientačne)

Support from quantum-walk literature (context)

Literatúra o kvantových celulárnych automatoch a kvantových prechádzkach (napr. práce G. M. D'Ariano a spoluautorov) ukazuje, že vhodne definované diskrétne modely môžu v kontinuálnom limite reprodukovať relativistické rovnice pre bezhmotné aj hmotné polia.

Literature on quantum cellular automata and quantum walks (e.g., works by G. M. D'Ariano and collaborators) shows that suitably defined discrete models can reproduce relativistic equations for massless and massive fields in the continuum limit.

To však nie je automatický dôsledok ľubovoľnej mriežky. V odvodení vyššie je ukázaný mechanizmus U(1) na úrovni efektívnej teórie; pre EDQ ešte treba mikro-odvodiť koeficienty a presnú oblasť platnosti, v ktorej sa získajú Maxwellove rovnice so správnymi kalibračnými vlastnosťami.

This is not an automatic consequence of an arbitrary grid. For EDQ, the specific dynamics, symmetries, and validity regime must still be derived explicitly. The derivation above gives the U(1) mechanism at effective-theory level; EDQ still needs a micro-derivation of coefficients and validity bounds to recover Maxwell equations with correct gauge properties.

Čo treba explicitne odvodiť

What must be explicitly derived

Indikátory kompatibility

Compatibility indicators

Falsifikátory kompatibility

Compatibility falsifiers

Krok 3: Slabopoľový limit VTR a testy

Step 3: Weak-field GR limit and tests

Cieľom je reprodukovať klasickú slabopoľovú gravitáciu ako limit vzniknutej metriky, vrátane štandardných testov VTR. Tým sa ukáže, že Newtonovo odvodenie nie je len kinematický trik, ale správny limit VTR.

V úspešnom limite majú trajektórie testovacích telies zodpovedať geodetikám vzniknutej metriky a má sa objaviť ekvivalenčný princíp (slabý aj Einsteinov).

The goal is to reproduce classical weak-field gravity as a limit of the resulting metric, including the standard GR tests. This would show that the Newton derivation is not merely kinematic but a correct GR limit.

In a successful limit, test-body trajectories should follow geodesics of the resulting metric and the equivalence principle should appear (weak and Einstein forms).

Slabopoľová metrika a Poissonova rovnica: Weak-field metric and Poisson equation:
\[ \nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho \] \[ g_{00} \approx -(1 + 2\Phi/c^2), \quad g_{ij} \approx (1 - 2\Phi/c^2)\delta_{ij} \]

EDQ pracovný mechanizmus (slabé pole)

EDQ working mechanism (weak field)

Čo treba explicitne odvodiť

What must be explicitly derived

Minimálne testy kompatibility

Minimal compatibility tests

Falsifikátory kompatibility

Compatibility falsifiers