SK | EN

EDQ: Kvantová prechádzka → Dirac a Lorentzov limit

EDQ: Quantum Walk → Dirac and Lorentz Limit

Tento dokument ukazuje konkrétny postup, ako z diskrétnej mriežky EDQ vyjde Diracova rovnica a približná Lorentzova symetria v nízkoenergetickom limite. Všetko platí iba v limite a pri jasných predpokladoch.

This document shows a concrete path for how a discrete EDQ grid can yield the Dirac equation and approximate Lorentz symmetry in the low-energy limit. Everything is valid only in the stated limit and under clear assumptions.

Krok 1: Diskrétny kvantový krok (1D skica)

Step 1: Discrete quantum step (1D sketch)

Uvažujme 1D mriežku s krokom \(a\) a časovým krokom \(\Delta t\). Stav vzoru má dve interné zložky (smerová pamäť). Jednotkový krok zapíšeme ako „posun + vnútorný operátor (coin)“:

Consider a 1D grid with spacing \(a\) and time step \(\Delta t\). The pattern state has two internal components (directional memory). Define a unitary step as “shift + coin”:

\[ \Psi_{t+\Delta t} = U \Psi_t, \quad U = S \, C(\theta) \] \[ C(\theta) = e^{-i \theta \sigma_y} \] \[ S = e^{-i k a \sigma_z} \quad \text{(v Fourierovej reprezentácii)} \]

Krok 2: Kontinuálny limit → Dirac

Step 2: Continuum limit → Dirac

Pre malé \(k a\) a malé \(\theta\) expandujeme jednotkový krok:

For small \(k a\) and small \(\theta\), expand the unitary step:

\[ U = e^{-i k a \sigma_z} e^{-i \theta \sigma_y} = \exp\!\left[-i( k a \sigma_z + \theta \sigma_y ) + \mathcal{O}(k a\,\theta)\right] \] \[ U \approx e^{-i H \Delta t/\hbar} \quad \Rightarrow \quad H \approx \hbar \frac{a}{\Delta t} k \sigma_z + \hbar \frac{\theta}{\Delta t} \sigma_y \]

Zavedeme parametre:

We identify parameters:

\[ c \equiv \frac{a}{\Delta t}, \quad m c^2 \equiv \frac{\hbar \theta}{\Delta t} \] \[ H \approx c \, p \, \sigma_z + m c^2 \, \sigma_y \quad (p=\hbar k) \]

Po návrate do polohy dostaneme 1D Diracov tvar:

Returning to position space yields the Dirac form (1D):

\[ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \left( -i\hbar c \sigma_z \frac{\partial}{\partial x} + m c^2 \sigma_y \right)\psi \]

Priama disperzia: Z vlastných čísel operátora \(U\) dostaneme uzavretý vzťah pre energiu. Pre \(U(k)=e^{-i k a \sigma_z} e^{-i \theta \sigma_y}\) platí:

Explicit dispersion: From the eigenvalues of \(U\) we obtain a closed energy relation. For \(U(k)=e^{-i k a \sigma_z} e^{-i \theta \sigma_y}\) we have:

\[ U(k)\, \chi_\pm = e^{-i E(k) \Delta t/\hbar}\, \chi_\pm \] \[ \cos\!\big(E(k)\Delta t/\hbar\big) = \cos(k a)\,\cos\theta \]
\[ E(k)\Delta t/\hbar \approx \sqrt{(k a)^2 + \theta^2} + \mathcal{O}((ka)^4,\theta^4,k^2 a^2\theta^2) \] \[ E^2 \approx p^2 c^2 + m^2 c^4 \quad (p=\hbar k,\; c=a/\Delta t,\; m c^2=\hbar\theta/\Delta t) \]

V nízkoenergetickom limite je skupinová rýchlosť \(v_g=\partial E/\partial p = c^2 p / E\), teda \(v_g \le c\). Lokálnosť a unitarita kroku zároveň zabezpečujú konečnú rýchlosť šírenia na mriežke (emergentný kauzálny kužeľ).

In the low-energy limit, the group velocity is \(v_g=\partial E/\partial p = c^2 p / E\), hence \(v_g \le c\). Locality and unitarity of the step also enforce a finite propagation speed on the grid (an emergent causal cone).

V 3D sa použije viac vnútorných zložiek (minca/coin) a vhodný unitárny krok, ktorý vedie na \(\boldsymbol{\alpha}\cdot \nabla\) a \(\beta\).

In 3D, the generalization introduces more coin components and a suitable unitary step that yields \(\boldsymbol{\alpha}\cdot \nabla\) and \(\beta\).

Príklad deleného kroku (split‑step) v 3D, len schematicky: Example split‑step 3D quantum step (schematic):
\[ U = S_z(\delta) \, C(\theta_2) \, S_y(\delta) \, C(\theta_1) \, S_x(\delta) \]
s posunmi \(S_i(\delta)=e^{-i \delta\, p_i \alpha_i/\hbar}\) a lokálnou mincou \(C(\theta)\). with shifts \(S_i(\delta)=e^{-i \delta\, p_i \alpha_i/\hbar}\) and a local coin \(C(\theta)\).

Pri vhodnej voľbe \(\theta_1,\theta_2\) a parametrov posunu sa v limite \(\delta \to 0\) získava efektívny Hamiltonián

With suitable choices of \(\theta_1,\theta_2\) and shift parameters, in the \(\delta \to 0\) limit one obtains the effective Hamiltonian

\[ H_{\text{eff}} \approx c\, \boldsymbol{\alpha}\cdot \mathbf{p} + \beta m c^2 \]

Príklad explicitnej voľby \(\alpha_i,\beta\) (Diracova reprezentácia) pre 4‑zložkový vnútorný stavový priestor:

Example explicit choice of \(\alpha_i,\beta\) (Dirac representation) for a 4‑component coin space:

\[ \alpha_i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_i \\ \sigma_i & 0 \end{pmatrix}, \quad \beta = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix} \]
\[ \sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\; \sigma_y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\; \sigma_z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} \]

V EDQ jazyku to znamená, že lokálna aktualizácia musí pôsobiť na vnútorný stavový priestor dimenzie 4 tak, aby v limite vznikli vyššie uvedené blokové štruktúry.

In EDQ terms this means the local update must act on a 4‑dimensional coin space such that the above block structures emerge in the limit.

Čo musí platiť v 3D

What must hold in 3D

Krok 3: Lorentzov limit a disperzia

Step 3: Lorentz limit and dispersion

Z Hamiltoniánu v limite plynie disperzný vzťah s korekciami vyššieho rádu:

From the Hamiltonian in the limit we obtain the dispersion relation with higher-order corrections:

\[ E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4 + \mathcal{O}\!\left((p a)^2\right) \]

To znamená, že Lorentzova invariancia je emergentná pri vlnových dĺžkach \(\lambda \gg a\). Porušenia sa objavia len v extrémnych energiách, kde \(p a \not\ll 1\).

This means Lorentz invariance is emergent for wavelengths \(\lambda \gg a\). Violations appear only at extreme energies where \(p a \not\ll 1\).

Poznámky a riziká (čo treba doriešiť)

Notes and risks (what must be resolved)

Zdvojenie fermiónov (otvorený bod)

Fermion doubling (open item)

EDQ nie je naivné sekanie kontinuálnej Diracovej PDE. Fundamentálny model je diskrétny unitárny krok \(U\), z ktorého Diracov tvar vychádza až v limite \(k a \ll 1\).

EDQ is not a naive slicing of a continuous Dirac PDE. The fundamental model is a discrete unitary step \(U\), and the Dirac form appears only in the \(k a \ll 1\) limit.

Otvorený technický bod je iný: pri disperzii \(\cos(E\Delta t/\hbar)=\cos(k a)\cos\theta\) môže existovať aj \(\pi\)-kvázienergický sektor pri okraji Brillouinovej zóny (\(k\approx \pi/a\)). Preto treba explicitne ukázať odpojenie alebo dynamické potlačenie tohto sektora v merateľnom limite.

The open technical issue is different: for \(\cos(E\Delta t/\hbar)=\cos(k a)\cos\theta\), a \(\pi\)-quasi-energy sector can also exist near the Brillouin-zone edge (\(k\approx \pi/a\)). Therefore, one must explicitly show decoupling or dynamical suppression of that sector in the measurable limit.

V tomto unitárnom jednokrokovom modeli nevznikajú Ostrogradského „duchovia“ (negatívno-normové módy z vyšších časových derivácií), pretože dynamika je prvého rádu v čase. Otvorený problém je spektrálny (doubling), nie problém duchov.

In this unitary one-step model, there are no Ostrogradsky-type ghosts (negative-norm modes from higher time derivatives), because the dynamics is first order in time. The open issue is spectral (doubling), not ghost-like.

Takže nejde o „ten istý problém ako pri sekaní PDE“, ale o kontrolu extra mriežkových módov v diskrétnom unitárnom modeli.

So this is not “the same problem as PDE slicing,” but a control problem for extra lattice modes in a discrete unitary model.

Spin a SU(2) transformácie

Spin and SU(2) transformations

Interná pamäť musí transformovať ako spinor (SU(2)), nie len ako klasická „minca“. To vyžaduje explicitnú mapu z mriežkového stavu na spinorovú reprezentáciu.

Internal memory must transform as a spinor (SU(2)), not just as a classical “coin”. This requires an explicit map from the grid state to the spinor representation.

Lorentzovo porušenie a experimenty

Lorentz violations and experiments

Ak EDQ generuje korekcie \(\mathcal{O}((p a)^2)\), musia byť pod aktuálnymi experimentálnymi limitmi. To si vyžaduje explicitné odhady alebo tabuľku limitov.

If EDQ yields \(\mathcal{O}((p a)^2)\) corrections, they must lie below current experimental limits. This requires explicit estimates or a table of bounds.