Riemannová hypotéza:

Pokiaľ Riemannová hypotéza platí, potom je možné priebeh prvočísiel v celkovom počte nahradiť uvedenou funkciou, viď. Obr.1.

Obr.1 - Preložená Riemannova funkcia aproximuje presne π(x) v nekonečnom rade.

The Riemann Hypothesis Says 5040 is the Last

Existuje veľa ekvivalentných spôsobov ako Riemannovú hypotézu formulovať. Zameriam sa na tento výklad. (zdroj: výkladu).

Zoberme si ľubovoľné kladné, celé číslo N, napr. N=12. Teraz si zoberme všetkých deliteľov tohto čísla bezo zvyšku postupne a sčítajme výsledok:

V roku 1984 Gay Robin ukázal, že Riemannova hypotéza je ekvivalentná tvrdeniu, že pre každé číslo N>5040 platí:

Pričom je Eulerova-Mascheroniho konštanta daná vzťahom:

Príklad:

Napr. číslo N=5040:

Priebeh jednotlivých čísiel >10 je na obr.2.

Obr. 2 Gay Robin index, zdroj: golem.ph.utexas.edu

Napr. niektoré blízke vrcholy sú:

(7560, 1.739917)

(10080, 1.755814)

(55440, 1.751247)

(110880, 1.734849)

(720720, 1.733065)

Výpočet sigma

Autor: Robopol

Pre využitie efektívneho algoritmu, pre výpočet tohto indexu potrebujeme vytvoriť vzťah sigma (N). Každé zložené číslo sa dá rozložiť na súčin prvočísiel. Tu sa jedná hlavne o prípady, kedy máme číslo N zadané v rozklade na prvočísla.

Najjednoduchší prípad je:

potom platí:

zložitejší prípad:

Tu si môžete všimnúť, že vzniká kombinačná metóda so vzorčekmi, ktorá je podstatne efektívnejšia ako rátať sigmu tak, že budeme deliť všetky čísla od 1 po N, pokiaľ máme číslo rozložené na súčin prvočísiel. Poďme na zložitejšie prípady.

V súčine sa môžu objaviť mocniny pre iné základy:

Postupne sa dostávame k univerzálnemu vzťahu pre výpočet sigma, ešte predtým urobíme jeden zložitejší príklad pre N=5040. Tu zistíme, že robíme kombinácie, každého člena s každým:

---

Načo boli tieto rozklady dobre? Okrem toho, že to poskytuje výhodu rýchlo zrátať nádejných kandidátov na potvrdenie/nepotvrdenie Riemannovej hypotézy, tieto rozklady v sebe ukrývajú oveľa viac ako sa na prvý pohľad zdá. Tu začína tá pekná časť matematiky.

The Riemann Hypothesis:

If the Riemann Hypothesis holds, then it is possible to replace the course of primes in the total count with the given function, see Fig.1.

Fig.1 - The translated Riemann function approximates exactly π(x) in an infinite series.

The Riemann Hypothesis Says 5040 is the Last

There are many equivalent ways to formulate the Riemann Hypothesis. I will focus on this explanation. (source: explanation).

Let's take any positive, whole number N, e.g., N=12. Now let's take all divisors of this number without remainder progressively and add up the result:

In 1984 Gay Robin showed that the Riemann hypothesis is equivalent to the statement that for every number N>5040 holds:

Where is the Euler-Mascheroni constant given by the relation:

Example:

E.g., number N=5040:

The course of individual numbers >10 is in Fig.2.

Fig. 2 Gay Robin index, source: golem.ph.utexas.edu

E.g., some close peaks are:

(7560, 1.739917)

(10080, 1.755814)

(55440, 1.751247)

(110880, 1.734849)

(720720, 1.733065)

Calculation of sigma

Author: Robopol

To use an efficient algorithm, for calculating this index we need to create a relation sigma (N). Every composite number can be decomposed into a product of primes. This mainly concerns cases where we have number N given in prime factorization.

The simplest case is:

then holds:

more complex case:

Here you can notice that a combinatorial method with formulas arises, which is substantially more efficient than calculating sigma by dividing all numbers from 1 to N, provided we have the number decomposed into a product of primes. Let's go to more complex cases.

Powers for other bases may appear in the product:

Gradually we get to the universal relation for calculating sigma, but before that we do one more complex example for N=5040. Here we find that we make combinations, each term with each:

---

What were these decompositions good for? Besides providing the advantage of quickly calculating promising candidates for confirming/disproving the Riemann Hypothesis, these decompositions hide much more than appears at first glance. This is where the beautiful part of mathematics begins.