Dodatok k preskúmaniu Riemannovej hypotézy.

Úvod

Po preskúmaní niektorých vlastností Riemmanovej funkcie dzeta, môžeme začať úvahy o možných dôkazoch, resp. protipríkladoch k tejto hypotéze. Naše preskúmavanie sa bude týkať práve týchto dvoch oblastí.

V prvej oblasti sa budeme zameriavať na podmienky platnosti RH a budeme sa snažiť nájsť protipríklad. Pokiaľ by sa nám niečo také podarilo, vlastne by sme dokázali, že RH neplatí.

V druhej časti sa pokúsime načrtnúť možné cesty k dôkazu RH, za predpokladu, že tento dôkaz nebude konštruktívny, ale takzvaný "nepriamy", čiže pomocou protirečenia.

V predchádzajúcich článkoch sme uviedli Robinovu neekvivalentnú podmienku s RH, ale platí to tak, že ak našťastie platí RH, tak platí aj Robinova podmienka. Ale môže nastať situácia, keď Robinova podmienka platí a RH neplatí. Avšak v tomto článku uvediem Robin-Lagariasovu podmienku, ktorá je už skutočne ekvivalentnou s RH.

Uvediem doteraz nepublikovanú kongruenciu pre Riemannovu dzeta funkciu, ktorá hovorí o zvláštnej vlastnosti Riemannovej funkcie a to je, že pre určité triedy prvočíselných dvojíc (ich súčinov) platí, že hodnota dzeta funkcie v záporných číslach sa dá vyjadriť celým číslom modulo danými prvočíslami.

Časť 1: Podmienka Robin - Lagarias

Na začiatok uveďme niektoré matematické formalizmy. Pre celé číslo n označme s(n) sumu všetkých deliteľov čísla n, vrátane n, t.j.:

s(n) = Sigma d, pre všetky d, ktoré delia n

Napríklad pre n = 4, s(4) = 1 + 2 + 4 = 7

Pre n = 6, s(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12

Lagarias dokázal, že nasledujúce tvrdenie je ekvivalentné s Riemannovou hypotézou:

s(n) <= H_n + ln(H_n) * e^H_n, pre všetky n>= 1

kde H_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n

e - je Eulerovo číslo

ln - je prirodzený logaritmus

Tzn., že ak nájdeme pre celé číslo n, ktoré je väčšie alebo rovné 1, opačnú nerovnosť, tak sme dokázali, že RH neplatí.

Časť 2: Kongruencia pre hodnoty dzeta funkcie

Ako som už spomínal, ide o doposiaľ nepublikovanú teorému, ktorú som odvodil zo zápisov Srinivasa Ramanujan-a, inšpiroval som sa jeho poznatkami o hodnote dzeta funkcie pre párne čísla.

Nech p a q sú prvočísla v tvare 4*k + 3, potom platí:

dzeta_funkcia(-p*q) kongruentné s 0 (mod p * q)

Napríklad:

dzeta_funkcia(-3*7) kongruentné s 0 (mod 21)

dzeta_funkcia(-7*11) kongruentné s 0 (mod 77)

a pod.

Skôr než som tento výsledok sám dosiahol, prehľadal som všetky dostupné časti poznámok Srinivasa Ramanujana, najmä jeho neskôr publikované poznámky, kde bolo možné očakávať výskyt podobnej teorémy. Nenašiel som však žiadnu zmienku. Je možné, že Ramanujan takéto tvrdenie poznal, pretože pre neho to mohla byť "triviálna" záležitosť, avšak ja som to nikde v jeho publikáciách nenašiel.

Táto kongruencia veľmi súvisí s mojou snahou dokázať alebo vyvrátiť platnosť Riemannovej hypotézy. V ďalších článkoch priblížim, aké ďalšie podmienky za existencie nulových bodov dzeta funkcie z toho vyplývajú. Ide o veľmi silné tvrdenie, keďže viaže hodnoty dzeta funkcie pre záporné hodnoty premennej s prvočíslami p a q vo veľmi konkrétnom a pravidelnom tvare.

Pokiaľ by ste mali nejaké otázky, môžete sa ma opýtať v diskusii pod článkom.

Addendum to the investigation of the Riemann Hypothesis.

Introduction

After investigating some properties of the Riemann zeta function, we can begin considerations about possible proofs, or counterexamples to this hypothesis. Our investigation will concern precisely these two areas.

In the first area, we will focus on the conditions of validity of RH and we will try to find a counterexample. If we succeeded in something like that, we would actually prove that RH does not hold.

In the second part, we will try to outline possible paths to the proof of RH, assuming that this proof will not be constructive, but so-called "indirect", i.e., by contradiction.

In previous articles, we mentioned Robin's non-equivalent condition with RH, but it holds that if fortunately RH holds, then Robin's condition also holds. But a situation can arise when Robin's condition holds and RH does not hold. However, in this article I will present the Robin-Lagarias condition, which is already truly equivalent to RH.

I will present a so far unpublished congruence for the Riemann zeta function, which speaks about a special property of the Riemann function, namely that for certain classes of prime pairs (their products) it holds that the value of the zeta function at negative numbers can be expressed as an integer modulo the given primes.

Part 1: Robin - Lagarias Condition

At the beginning, let us state some mathematical formalisms. For integer n, let s(n) denote the sum of all divisors of number n, including n, i.e.:

s(n) = Sigma d, for all d that divide n

For example, for n = 4, s(4) = 1 + 2 + 4 = 7

For n = 6, s(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12

Lagarias proved that the following statement is equivalent to the Riemann Hypothesis:

s(n) <= H_n + ln(H_n) * e^H_n, for all n>= 1

where H_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n

e - is Euler's number

ln - is natural logarithm

That is, if we find for integer n, which is greater than or equal to 1, the opposite inequality, then we have proved that RH does not hold.

Part 2: Congruence for zeta function values

As I already mentioned, this is a so far unpublished theorem, which I derived from the notes of Srinivasa Ramanujan, I was inspired by his knowledge about the value of the zeta function for even numbers.

Let p and q be primes of the form 4*k + 3, then it holds:

zeta_function(-p*q) congruent to 0 (mod p * q)

For example:

zeta_function(-3*7) congruent to 0 (mod 21)

zeta_function(-7*11) congruent to 0 (mod 77)

and so on.

Before I achieved this result myself, I searched through all available parts of Srinivasa Ramanujan's notes, especially his later published notes, where the occurrence of a similar theorem could be expected. However, I found no mention. It is possible that Ramanujan knew such a statement, because for him it could have been a "trivial" matter, but I did not find it anywhere in his publications.

This congruence is very related to my effort to prove or disprove the validity of the Riemann Hypothesis. In further articles I will outline what other conditions for the existence of zeros of the zeta function follow from this. It is a very strong statement, as it binds the values of the zeta function for negative values of the variable with primes p and q in a very concrete and regular form.

If you have any questions, you can ask me in the discussion below the article.