Rozklad podľa centra, C-Bernoulliho vzťahy a overené porovnania presnosti
Centre decomposition, C-Bernoulli relations, and verified accuracy comparisons
Výskum MVDC sa zaoberá aproximáciou kladných súčinov pomocou rozkladu podľa centra. Cieľom je zvoliť hlavný člen, ktorý zachytí dominantné správanie súčinu, a potrebnú presnosť dosiahnuť korekciami menšieho rezídua. Práca skúma analytické rozvoje s kontrolovanou chybou aj ich numerické doplnenia pre konkrétne rodiny súčinov.
MVDC research studies the approximation of positive products through centre decomposition. Its aim is to choose a main term that captures the product's dominant behaviour and attain the required accuracy by correcting the smaller residual. The work examines analytic expansions with controlled error as well as numerical extensions for particular product families.
Analytickým jadrom opravenej práce sú konečné C-Bernoulliho koeficienty, ich vzťah k centrovaným súčtom a veta o rozvoji logaritmu faktorov s odhadom zvyšku. Pre vhodné rodiny tak možno odvodiť aproximáciu a zdôvodniť jej presnosť bez tréningových dát. Praktická použiteľnosť závisí od štruktúry faktorov, dostupných derivácií a veľkosti zvyšku.
The analytic core of the revised paper consists of finite C-Bernoulli coefficients, their relation to centred sums, and a theorem expanding the factor logarithms with a remainder bound. For suitable families, an approximation and its accuracy can therefore be established without training data. Practical applicability depends on factor structure, accessible derivatives, and the remainder size.
V konkrétnom faktoriálovom porovnaní klesá relatívna chyba použitej štvorčlennej analytickej formule pri rastúcom \(n\) rýchlejšie než pri základnom Stirlingovom a uvedenom Ramanujanovom vzorci. Táto formula je zároveň totožná so štvorčlenným logaritmickým Stirlingovým rozvojom. Nasledujúce časti presne rozlišujú tieto tvary, počet korekcií a význam konvergencie.
In the specified factorial comparison, the relative error of the chosen four-correction analytic formula decreases faster as \(n\) increases than that of basic Stirling and the stated Ramanujan formula. This formula is also identical to the four-correction log-Stirling expansion. The following sections distinguish these forms, correction counts, and meanings of convergence explicitly.
Matematická veta pochádza z opravenej augustovej publikácie. Prehľad rodín obsahuje aj výslovne označené odvodenia tejto stránky; fitovanie a kaskády sú numerickým doplnením z 19. októbra 2026.
The mathematical theorem comes from the revised August publication. The family overview also contains explicitly labelled derivations on this page; fitting and cascades are a numerical supplement dated 19 October 2026.
Analytický vzťah · Vhodné rodiny · Stirling, Ramanujan a pokles chyby · Fitovanie a kaskády
Analytic relation · Suitable families · Stirling, Ramanujan, and error decay · Fitting and cascades
Pre kladné faktory zvoľme ľubovoľné reálne centrum \(c\), položme \(k=e^c\) a oddeľme hlavný člen od rezídua.
For positive factors, choose any real centre \(c\), set \(k=e^c\), and separate the main term from its residual.
Ak \(c=\mu_{\log}=n^{-1}\sum_i\log a_i\), potom \(R_c=0\) a \(H_c=P_n\). Ide o presné vyhodnotenie súčinu v logaritmickej oblasti. Pri rýchlej aproximácii nového bodu sa centrum vyhodnotí bez znalosti presného súčinu v tomto bode, napríklad z integrálu, hlavného asymptotického člena alebo modelu pripraveného na oddelených tréningových bodoch.
If \(c=\mu_{\log}=n^{-1}\sum_i\log a_i\), then \(R_c=0\) and \(H_c=P_n\). This evaluates the product exactly in the logarithmic domain. For a fast approximation at a new point, the centre is evaluated without knowing the exact product at that point, for example through an integral, a leading asymptotic term, or a model built on separate training points.
Tento druhý moment má jediné minimum pri \(c=\mu_{\log}\). Posuny o polovicu rozptylu z minimalizácie nevyplývajú. Staršie tvrdenie o optimálnych posunutých centrách sa preto nepoužíva ako dôkazový krok.
This second moment has its unique minimum at \(c=\mu_{\log}\). Shifts by half the variance do not follow from its minimization. The earlier optimal-shift claim is therefore not used as a proof step.
Nech \(n\ge1\) je celé číslo a \(m_n=(n+1)/2\). Práca používa konečné C-Bernoulliho koeficienty centrovaných indexov. Závisia od \(n\) a rádu \(r\); pre danú indexovú mriežku sa dajú určiť presne a opakovane použiť pre rôzne rodiny faktorov:
Let \(n\ge1\) be an integer and \(m_n=(n+1)/2\). The paper uses finite C-Bernoulli coefficients of the centred indices. They depend on \(n\) and the order \(r\); for a given index grid, they can be determined exactly and reused across different factor families:
V bode \(t=0\) sa podiel chápe spojitým doplnením. Súvis s Bernoulliho polynómami je explicitný:
At \(t=0\), the quotient is interpreted by continuous extension. The relation to Bernoulli polynomials is explicit:
Tieto vzťahy určujú koeficienty analyticky. Súvis s centrálnymi Bernoulliho a Nörlundovými polynómami rozoberajú časti 3–4 opravenej práce; klasickú identitu pre súčty mocnín uvádza aj NIST DLMF §24.4(iii).
These relations determine the coefficients analytically. Sections 3–4 of the revised paper discuss the connection to central Bernoulli and Nörlund polynomials; the classical power-sum identity is also given in NIST DLMF §24.4(iii).
Nech \(a_i>0\), \(f(i)=\log a_i\), \(p\ge0\) je celé číslo a \(f\in C^{2p+2}([1,n])\). Potom platí konečný rozvoj s explicitným zvyškom:
Let \(a_i>0\), \(f(i)=\log a_i\), let \(p\ge0\) be an integer, and let \(f\in C^{2p+2}([1,n])\). Then the following finite expansion has an explicit remainder:
Dôkaz používa Taylorovu vetu v strede \(m_n\) pre každé \(f(i)\). Po sčítaní sa nepárne mocniny zrušia symetriou a súčet odhadov Lagrangeových zvyškov dá uvedenú nerovnosť. Koeficienty zachytávajú indexy, derivácie zachytávajú konkrétne faktory.
The proof applies Taylor's theorem at \(m_n\) to each \(f(i)\). On summing, symmetry cancels the odd powers, and the sum of the Lagrange-remainder bounds gives the stated inequality. The coefficients encode the indices, while the derivatives encode the particular factors.
Voľba \(c=f(m_n)\) dáva hlavný člen \(H=e^{nf(m_n)}\). Zostávajúce párne členy určujú analytickú korekciu. Pre skrátenú aproximáciu platí:
Choosing \(c=f(m_n)\) gives the main term \(H=e^{nf(m_n)}\). The remaining even terms determine its analytic correction. The truncated approximation satisfies:
Požadovanú relatívnu chybu \(\tau>0\) teda zaručí \(\delta_p\le\log(1+\tau)\). Tento výsledok nevyžaduje tréningové dáta. Odhad sa týka skrátenia rozvoja; pri výpočte s konečnou presnosťou treba osobitne zohľadniť zaokrúhľovanie. Veta 1 v časti 4 opravenej práce uvádza rozvoj logaritmického súčtu a jeho zvyšok, rovnicu (8). Relatívny odhad uvedený tu je odvodeným dôsledkom: exponentovaním nerovnosti \(|\log P_n-\log\widehat P_{n,p}|\le\delta_p\) získame príslušné hranice pre pomer súčinov.
A target relative error \(\tau>0\) is therefore guaranteed by \(\delta_p\le\log(1+\tau)\). This result requires no training data. The bound concerns truncation of the expansion; finite-precision computation also requires separate treatment of roundoff. Theorem 1 in section 4 of the revised paper states the logarithmic-sum expansion and its remainder, equation (8). The relative bound given here is a derived consequence: exponentiating \(|\log P_n-\log\widehat P_{n,p}|\le\delta_p\) gives the corresponding bounds for the product ratio.
Veta sama osebe nesľubuje, že tento odhad bude malý pre každú rodinu alebo že bude s rádom vždy klesať. Praktický analytický postup potrebuje dostupné derivácie a užitočný odhad zvyšku. Pri širokom intervale možno vetu použiť na jednotlivé bloky; ich absolútne odhady chyby logaritmu sa sčítajú.
The theorem alone does not promise a small bound for every family, or a bound that always decreases with the order. A practical analytic procedure needs accessible derivatives and a useful remainder estimate. On a wide interval, the theorem can be applied block by block; the absolute log-error bounds then add.
Nasledujúci vzorec je vysvetľujúce odvodenie na tejto stránke z vyššie uvedenej konštrukcie. Tento lineárny príklad s geometrickým odhadom chvosta nie je samostatne uvedený v augustovom PDF. Pre \(a_i=a+bi\), \(b>0\), \(a+b>0\) a pevné celé \(n\ge1\) položme:
The following formula is an explanatory derivation on this page from the construction above. This linear-factor example with a geometric tail bound is not stated separately in the August PDF. For \(a_i=a+bi\), \(b>0\), \(a+b>0\), and a fixed integer \(n\ge1\), set:
Tu ide o konvergentný rozvoj: \(|b(i-m_n)/A|\le\rho<1\), takže môžeme použiť rad pre logaritmus a symetriu indexov. Po ponechaní \(p\) párnych korekcií má vynechaný logaritmický chvost odhad:
Here the expansion is convergent: \(|b(i-m_n)/A|\le\rho<1\), so the logarithm series and index symmetry apply. After retaining \(p\) even corrections, the omitted logarithmic tail obeys:
Odhad vznikne ohraničením zvyšných párnych mocnín geometrickým radom. Pre pevné parametre a pevné \(n\) smeruje k nule, takže rád možno voliť podľa požadovanej presnosti. Ak je \(\rho\) blízko jednej, môže byť potrebných veľa členov; tento výsledok neznamená rovnakú rýchlosť konvergencie pri rastúcom \(n\).
The bound follows by bounding the remaining even powers with a geometric series. For fixed parameters and fixed \(n\), it tends to zero, allowing the order to be chosen for a target accuracy. When \(\rho\) is close to one, many terms may be needed; this result does not imply a uniform convergence rate as \(n\) increases.
Najpriamejšie použitie majú rodiny s explicitným hladkým logaritmom faktorov a kontrolovateľnými deriváciami. Tabuľka uvádza konkrétne prípady; existencia analytickej cesty neznamená, že každá implementácia používa práve túto cestu alebo že jeden krátky rozvoj bude rovnako presný pre všetky parametre.
The most direct applications are families with an explicit smooth factor logarithm and controllable derivatives. The table lists concrete cases; the availability of an analytic route does not mean that every implementation uses that route, or that one short expansion is equally accurate for every parameter choice.
Tabuľka je odvodeným prehľadom použiteľnosti na tejto stránke, nie prevzatým zoznamom dokázaných aplikácií z augustového PDF. Opravená publikácia samostatne spracúva faktoriál v časti 5 a Eulerove a Dirichletove súčiny v častiach 6–6.1. Ďalšie riadky nižšie vyplývajú z explicitných prepisov faktorov, Vety 1 a uvedeného lineárneho príkladu.
The table is a derived applicability guide on this page, not a reproduced list of proved applications from the August PDF. The revised paper treats the factorial explicitly in section 5 and Euler and Dirichlet products in sections 6–6.1. The other rows below follow from the explicit factor rewritings, Theorem 1, and the linear-factor example above.
| RodinaFamily | Analytická štruktúra a podmienkyAnalytic structure and conditions | Výsledok a vzťah k implementáciiResult and relation to the implementation |
|---|---|---|
| FaktoriályFactorials | \(n!=\prod_{i=1}^{n}i\): v lineárnom príklade \(a=0,\ b=1\). Derivácie \(\log x\) aj C-Bernoulliho korekcie sú explicitné.\(n!=\prod_{i=1}^{n}i\): use \(a=0,\ b=1\) in the linear example. Derivatives of \(\log x\) and the C-Bernoulli corrections are explicit. | Priamy centrovaný rozvoj; Euler–Maclaurinov tvar dáva klasický logaritmický Stirlingov rozvoj uvedený nižšie.Direct centred expansion; the Euler–Maclaurin form yields the classical log-Stirling expansion shown below. |
| Rastúce faktoriályRising factorials | \((\alpha)_n=\prod_{i=1}^{n}(\alpha+i-1)\), \(\alpha>0\): voľba \(a=\alpha-1,\ b=1\). Platí aj \((\alpha)_n=\Gamma(n+\alpha)/\Gamma(\alpha)\).\((\alpha)_n=\prod_{i=1}^{n}(\alpha+i-1)\), \(\alpha>0\): use \(a=\alpha-1,\ b=1\). Also, \((\alpha)_n=\Gamma(n+\alpha)/\Gamma(\alpha)\). | Analytická cesta cez lineárne faktory existuje. Súčasný skript rising_mvdc_example.py navyše skúma fitované rezíduum pre \(\alpha=1/3\).An analytic route through linear factors is available. The current rising_mvdc_example.py additionally studies a fitted residual for \(\alpha=1/3\). |
| Gamma pomery s pevnými posunmiGamma ratios with fixed shifts | Podiely súčinov \(\prod_{i=1}^{n}(i+\alpha)/(i+\beta)\), \(\alpha,\beta>-1\), majú \(f(x)=\log(x+\alpha)-\log(x+\beta)\). Pevné normalizačné faktory sa vyčlenia presne.Product ratios \(\prod_{i=1}^{n}(i+\alpha)/(i+\beta)\), \(\alpha,\beta>-1\), have \(f(x)=\log(x+\alpha)-\log(x+\beta)\). Fixed normalization factors are separated exactly. | Derivácie sú rozdielom dvoch explicitných výrazov a odhady zvyškov možno sčítať. Analytické Gamma rozvoje a fitovaná vetva v reporte sú samostatné možnosti.Derivatives are differences of two explicit expressions, and remainder bounds can be added. Analytic Gamma expansions and the fitted branch in the report are separate options. |
| Centrálne binomické koeficientyCentral binomial coefficients | \(\binom{2n}{n}=(2n)!/(n!)^2\): logaritmus je kombináciou faktoriálových rozvojov s počtom členov \(2n\) a \(n\).\(\binom{2n}{n}=(2n)!/(n!)^2\): its logarithm combines factorial expansions with \(2n\) and \(n\) factors. | Z odhadov \(\delta_{2n}\) a \(\delta_n\) pre príslušné logaritmy faktoriálov dostaneme odhad \(\delta_{2n}+2\delta_n\). Skript binom_analytic.py používa analytické klasické Bernoulliho korekcie; ďalší skript porovnáva fit a kaskádu.Bounds \(\delta_{2n}\) and \(\delta_n\) for the respective log factorials give the bound \(\delta_{2n}+2\delta_n\). The binom_analytic.py script uses analytic classical Bernoulli corrections; another script compares a fit and a cascade. |
| Konečný Wallisov súčinFinite Wallis product | \(W_n=\prod_{i=1}^{n}i^2/[(i-1/2)(i+1/2)]\). Logaritmus faktorov je \(2\log x-\log(x-1/2)-\log(x+1/2)\), hladký na \([1,n]\).\(W_n=\prod_{i=1}^{n}i^2/[(i-1/2)(i+1/2)]\). The factor logarithm is \(2\log x-\log(x-1/2)-\log(x+1/2)\), smooth on \([1,n]\). | Priamy centrovaný rozvoj je kombináciou lineárnych prípadov. Skript obsahuje aj analytický asymptotický rozvoj a samostatne fitované centrum.The direct centred expansion combines linear-factor cases. The script also contains an analytic asymptotic expansion and a separately fitted centre. |
| Exponenciály polynómovExponentials of polynomials | \(a_i=e^{q(i)}\), kde \(q\) je reálny polynóm. Ak \(\deg q\le2p+1\), derivácia \(q^{(2p+2)}\) je nulová.\(a_i=e^{q(i)}\), where \(q\) is a real polynomial. If \(\deg q\le2p+1\), then \(q^{(2p+2)}\) vanishes. | Konečný C-Bernoulliho vzorec potom dáva presný logaritmus súčinu. Je to priamy dôsledok vety, bez numerického fitu.The finite C-Bernoulli formula then gives the exact logarithm of the product. This follows directly from the theorem, without a numerical fit. |
Vzťah rastúcich faktoriálov a Gamma funkcie uvádza NIST DLMF §5.2(iii); analytické rozvoje Gamma pomerov sú v §5.11(iii). Prepisy v tabuľke ukazujú, ako tieto rodiny zapadajú do centrovaného rámca.
The rising-factorial/Gamma relation is given in NIST DLMF §5.2(iii), and analytic Gamma-ratio expansions in §5.11(iii). The rewritings in the table show how these families fit into the centred framework.
Pri ďalších kladných faktoroch \(a_i=F(i)\) treba osobitne preveriť \(f=\log F\), rast derivácií a veľkosť zvyšku. Formálna existencia koeficientov \(C_r(n)\) sama nevytvára praktický analytický algoritmus pre ľubovoľnú diskrétnu postupnosť. Ak sa parametre menia s \(n\), odhady musia pokryť aj túto závislosť.
For other positive factors \(a_i=F(i)\), one must separately examine \(f=\log F\), derivative growth, and the remainder size. The formal existence of \(C_r(n)\) alone does not produce a practical analytic algorithm for an arbitrary discrete sequence. If parameters vary with \(n\), the bounds must also cover that dependence.
Faktoriál je konkrétny analyticky zvládnuteľný príklad. Centrovanú konštrukciu možno porovnať s Eulerovým–Maclaurinovým usporiadaním, v ktorom sa hlavný člen zvolí takto:
The factorial is a concrete analytically tractable example. The centred construction can be compared with the Euler–Maclaurin organization, whose main term is chosen as follows:
Tu vystupujú klasické Bernoulliho čísla \(B_{2j}\). Konečné centrované koeficienty \(C_r(n)\) a Eulerove–Maclaurinove koeficienty majú odlišné definície a nesmú sa zamieňať. Pre tento hlavný člen dostávame klasický logaritmický Stirlingov rozvoj; ide o analytický výsledok bez fitovania.
Here \(B_{2j}\) are the classical Bernoulli numbers. The finite centred coefficients \(C_r(n)\) and the Euler–Maclaurin coefficients have different definitions and must not be interchanged. For this main term, the result is the classical log-Stirling expansion, obtained analytically without fitting.
Odhad využíva prvý vynechaný člen pre kladný reálny argument podľa NIST DLMF §5.11(ii). Presnosť je tu podložená analytickým zvyškom; merania pre konkrétne hodnoty sú doplnkovou kontrolou v numerickej prílohe. Pri asymptotickom rozvoji treba rád voliť podľa jeho zvyšku.
The bound uses the first omitted term for a positive real argument, as stated in NIST DLMF §5.11(ii). Accuracy here is supported by an analytic remainder; measurements at particular values are supplementary checks in the numerical appendix. The order of an asymptotic expansion must be chosen with its remainder in mind.
Základný Stirlingov vzorec je \(S_0(n)=H_n\), bez ďalších korekcií. Ramanujanov historický vzorec predstavuje jeho spresnenie; v tomto porovnaní používame presne tvar s konštantou \(1/30\):
Basic Stirling is \(S_0(n)=H_n\), with no further corrections. Ramanujan's historical formula refines it; this comparison uses exactly the form with constant \(1/30\):
Označme \(\varepsilon_A(n)=|A(n)/n!-1|\). Pri pevných formulách a \(n\to\infty\) má chyba matematickej aproximácie nasledujúce správanie; zaokrúhľovanie výpočtu tu nie je zahrnuté:
Write \(\varepsilon_A(n)=|A(n)/n!-1|\). For the fixed formulas as \(n\to\infty\), the mathematical approximation errors behave as follows; computational roundoff is not included:
| AproximáciaApproximation | Použité korekcieCorrections retained | Relatívna chyba pre n → ∞Relative error as n → ∞ |
|---|---|---|
| Základný Stirling \(S_0\)Basic Stirling \(S_0\) | Žiadna; iba hlavný člen \(H_n\)None; only the main term \(H_n\) | \(\varepsilon_{S_0}(n)\sim1/(12n)\) |
| Ramanujan \(R\)Ramanujan \(R\) | Pevná formula so šiestou odmocninouFixed sixth-root formula | \(\varepsilon_R(n)\sim11/(11520n^4)\) |
| Analytická faktoriálová MVDC \(M_4\) / logaritmický Stirling so 4 korekciamiAnalytic factorial MVDC \(M_4\) / log-Stirling with 4 corrections | 4 členy v exponente: \(n^{-1},n^{-3},n^{-5},n^{-7}\)4 exponent terms: \(n^{-1},n^{-3},n^{-5},n^{-7}\) | \(\varepsilon_{M_4}(n)\sim1/(1188n^9)\) |
| Polynomiálny Stirling po \(n^{-8}\)Polynomial Stirling through \(n^{-8}\) | 8 mocninových korekcií po \(n^{-8}\)8 power corrections through \(n^{-8}\) | \(\varepsilon(n)=O(n^{-9})\) |
Počty korekcií nezahŕňajú hlavný člen \(H_n\) ani konštantu 1 v multiplikatívnom polynóme. Exponenciácia štyroch logaritmických korekcií vytvára aj príspevky pri ďalších mocninách \(1/n\); polynomiálny zápis ich uvádza samostatne. Štyri oproti ôsmim je preto porovnanie zápisov s rovnakým asymptotickým rádom chyby, nie tvrdenie o rovnakom počte aritmetických operácií alebo rovnakej chybe pri každom konkrétnom \(n\).
Correction counts exclude the main term \(H_n\) and the constant 1 in the multiplicative polynomial. Exponentiating four logarithmic corrections also generates contributions at further powers of \(1/n\); the polynomial form lists them separately. Four versus eight therefore compares representations with the same asymptotic error order, not equal operation counts or equal errors at every particular \(n\).
Základné Stirlingove rozvoje a odhady ich zvyškov uvádza NIST DLMF §5.11. Ramanujanov vzorec a rozvoj jeho korekcie rozoberajú Hirschhorn a Villarino. Z prvého vynechaného člena príslušných rozvojov vyplývajú uvedené vedúce členy relatívnej chyby.
The Stirling expansions and remainder bounds are given in NIST DLMF §5.11. Ramanujan's formula and its correction expansion are discussed by Hirschhorn and Villarino. The leading relative-error terms shown above follow from the first omitted terms of the respective expansions.
V tabuľke zostáva počet korekcií pevný a rastie \(n\). Pokles \(n^{-9}\) oproti \(n^{-4}\) a \(n^{-1}\) znamená, že relatívna chyba príslušnej pevnej aproximácie sa pri rastúcom \(n\) približuje k nule rýchlejšie. Rýchlosť výpočtu je samostatná veličina a uvedené meranie ju neporovnáva.
In the table, the number of corrections stays fixed while \(n\) increases. Decay as \(n^{-9}\), compared with \(n^{-4}\) and \(n^{-1}\), means that the relative error of the corresponding fixed approximation approaches zero faster as \(n\) increases. Computational speed is a separate quantity and is not compared by the reported measurement.
Pri konvergentnom rozvoji lineárnych faktorov naopak môžeme nechať \(n\) pevné a pridávať korekcie: odhad klesá podľa \(\rho^{2p+2}/(2p+2)\) pre pevné \(\rho<1\). Jeho rýchlosť závisí od rodiny a parametrov. Tento záver sa automaticky neprenáša na každý asymptotický rozvoj ani na ľubovoľný fit či kaskádu.
For the convergent linear-factor expansion, instead, \(n\) can stay fixed while corrections are added: the bound decreases according to \(\rho^{2p+2}/(2p+2)\) for fixed \(\rho<1\). Its rate depends on the family and parameters. This conclusion does not automatically extend to every asymptotic expansion or to an arbitrary fit or cascade.
Pre \(a_i=k(1+x_i)\) a \(\rho=\max_i|x_i|<1\) platí konvergentný rozvoj podľa odchýlok faktorov:
For \(a_i=k(1+x_i)\) and \(\rho=\max_i|x_i|<1\), factor deviations give the convergent expansion:
Aritmetický priemer faktorov ruší \(X_1\), ak zvolená rodina zároveň spĺňa podmienku konvergencie. Momenty logaritmov nemožno v tomto rozvoji zamieňať za momenty odchýlok faktorov.
The arithmetic mean of the factors cancels \(X_1\), provided the chosen family also meets the convergence condition. Moments of logarithms cannot replace moments of factor deviations in this expansion.
Nasledujúca minimaxová voľba je doplňujúce algebraické odvodenie tejto stránky a implementácie; augustové PDF ju neuvádza ako samostatnú vetu. Ak chceme minimalizovať najväčšiu relatívnu odchýlku faktorov, použijeme minimaxové centrum. Pre ľubovoľný konečný súbor kladných faktorov zaručuje podmienku konvergencie:
The following minimax choice is an additional algebraic derivation for this page and implementation; the August PDF does not state it as a separate theorem. To minimize the largest relative factor deviation, use the minimax centre. For any finite set of positive factors, it guarantees the convergence condition:
Ide o minimum \(\max_i|a_i/k-1|\), teda o iné kritérium než minimum druhého momentu logaritmov. Uvedený odhad \(\mathcal R_M\) ohraničuje chybu skrátenia logaritmického rozvoja; zaokrúhľovacia chyba výpočtu sa posudzuje osobitne.
This minimizes \(\max_i|a_i/k-1|\), a different objective from the second moment of logarithms. The bound on \(\mathcal R_M\) controls truncation of the logarithmic expansion; numerical roundoff is assessed separately.
Nie každá analyticky spracovateľná rodina používa priamo C-Bernoulliho koeficienty. Pri q-Pochhammerovom súčine \(P_n=\prod_{k=0}^{n-1}(1-aq^k)\), napríklad pre \(0<a<1\) a \(0<q<1\), je prirodzeným hlavným členom \(P_\infty\) a rezíduum má rozvoj v \(q^n\):
Not every analytically tractable family directly uses C-Bernoulli coefficients. For the q-Pochhammer product \(P_n=\prod_{k=0}^{n-1}(1-aq^k)\), for example with \(0<a<1\) and \(0<q<1\), the natural main term is \(P_\infty\), and its residual expands in \(q^n\):
Tento vzorec tvorí vysvetľujúce doplnenie webu a repozitára; v opravenom augustovom PDF nie je uvedený. Vznikne rozvinutím logaritmu vynechaného chvosta a sčítaním geometrického radu. Skript qpoch_mvdc_example.py používa túto analytickú vetvu s odhadom skrátenia. Je to samostatný príklad rozkladu na hlavný člen a rezíduum, nie dôkaz univerzálnej použiteľnosti C-Bernoulliho rozvoja.
This formula is an explanatory addition on the website and in the repository; it is not stated in the revised August PDF. It follows by expanding the logarithm of the omitted tail and summing a geometric series. The qpoch_mvdc_example.py script uses this analytic branch with a truncation bound. It is a separate example of main-term/residual decomposition, not evidence of universal applicability of the C-Bernoulli expansion.
Súčiny cez prvočísla vyžadujú samostatné spracovanie. Koeficienty \(C_r(n)\) centrovaných celočíselných indexov samy neurčujú rozloženie prvočísel ani nekonečný chvost. Opravená práca tu používa presný konečný blok, model chvosta a osobitný rigorózny odhad.
Products over primes require separate treatment. The \(C_r(n)\) coefficients of centred integer indices alone do not determine the distribution of primes or the infinite tail. The revised paper uses an exact finite block, a tail model, and a separate rigorous bound here.
Pre \(\zeta_N(s)=\prod_{p\le N}(1-p^{-s})^{-1}\), \(\sigma=\Re s>1\) a celé \(M>N\ge2\) rozdeľme chvost na presný konečný blok a zvyšok. Pri komplexnom \(s\) je vetva logaritmu určená absolútne konvergentným Eulerovým rozvojom:
For \(\zeta_N(s)=\prod_{p\le N}(1-p^{-s})^{-1}\), \(\sigma=\Re s>1\), and integers \(M>N\ge2\), split the tail into an exact finite block and a remainder. For complex \(s\), the logarithm branch is defined by the absolutely convergent Euler expansion:
Integrál s hustotou prvočísel môže zvyšok numericky aproximovať. Publikovaná chyba konkrétnych príkladov pochádza z presne spočítaného bloku a tohto modelu chvosta; rigorózny odhad zvyšku je samostatné tvrdenie.
An integral using prime density can model the remaining tail numerically. The reported errors for specific examples come from the exactly evaluated block and this tail model; the rigorous remainder bound is a separate statement.
Fitovanie a kaskády sú ďalšie numerické možnosti MVDC. Dopĺňajú analytické rozvoje a môžu sa skúmať aj tam, kde explicitné korekcie nie sú prakticky dostupné. Fitované koeficienty sa určujú z tréningových dát; výsledky na oddelených bodoch hodnotia danú aproximáciu, nie platnosť vyššie uvedenej analytickej vety.
Fitting and cascades are additional numerical options in MVDC. They complement analytic expansions and can also be investigated where explicit corrections are not practically available. Fitted coefficients are determined from training data; results at held-out points assess that approximation, not the validity of the analytic theorem above.
Meranie z 19. októbra 2026 potvrdzuje prínos týchto numerických možností v konkrétnych prípadoch: fit Gamma pomeru má na viacerých bodoch viac než miliónkrát menšiu chybu než dvojčlenná aproximácia \(S_2\), a binomická kaskáda \(3+7\) pri vyššom výslednom stupni zlepšuje samostatný fit stupňa 5 vo všetkých šiestich meraných bodoch. Rozbalené výsledky uvádzajú aj vyššie analytické rády, výpočtovú presnosť, tréningové body a prípady, kde je analytický rozvoj presnejší.
The measurement of 19 October 2026 confirms benefits of these numerical options in specific cases: the Gamma-ratio fit has more than a million times smaller error than the two-correction approximation \(S_2\) at several points, and the \(3+7\) binomial cascade, with a higher resulting degree, improves on the standalone degree-5 fit at all six measured points. The expanded results also state higher analytic orders, arithmetic precision, training points, and cases where the analytic expansion is more accurate.
Kompletné namerané dáta (JSON) · Prostredie a reprodukovateľnosť
Complete measured data (JSON) · Environment and reproducibility
Pre toto analytické centrum je výsledný vzorec totožný s klasickým logaritmickým Stirlingovým rozvojom. V meraní ponechávame štyri korekcie po \(n^{-7}\) a porovnávame ich s presným celočíselným \(n!\) pri pracovnej presnosti 80 desatinných číslic. Druhou referenčnou aproximáciou je Ramanujanov vzorec so šiestou odmocninou:
For this analytic centre, the resulting formula is identical to the classical log-Stirling expansion. The measurement retains four corrections through \(n^{-7}\) and compares them with the exact integer \(n!\) at 80 decimal digits of working precision. A second approximation is Ramanujan's sixth-root formula:
| n | Analytická MVDC / log-Stirling, 4 korekcieAnalytic MVDC / log-Stirling, 4 corrections | Ramanujan |
|---|---|---|
| 10 | 8.232e-13 | 8.587e-8 |
| 20 | 1.635e-15 | 5.666e-9 |
| 50 | 4.306e-19 | 1.497e-10 |
| 100 | 8.416e-22 | 9.452e-12 |
| 500 | 4.310e-28 | 1.525e-14 |
Štvorčlenná analytická faktoriálová aproximácia má menšiu relatívnu chybu než uvedený Ramanujanov vzorec vo všetkých piatich bodoch tabuľky. Pri \(n=20\) je chyba približne 3,47 miliónkrát menšia, pri \(n=100\) približne 11,2 miliardykrát menšia. Rovnakú presnosť má identický štvorčlenný logaritmický Stirlingov vzorec. Porovnanie sa týka uvedenej Ramanujanovej formule s konštantou \(1/30\).
The four-correction analytic factorial approximation has smaller relative error than the stated Ramanujan formula at all five table points. The error is about 3.47 million times smaller at \(n=20\), and about 11.2 billion times smaller at \(n=100\). The identical four-correction log-Stirling formula has the same accuracy. This comparison concerns the specified Ramanujan formula with constant \(1/30\).
Pre kladné celé \(n\) aproximujeme \(G(n)=\Gamma(n+1/2)/\Gamma(n)\). Analytický hlavný člen je \(\sqrt n\); fitujeme skutočné logaritmické rezíduum \(r(n)=\log G(n)-\tfrac12\log n\). Model má šesť koeficientov vrátane konštantného člena:
For positive integers \(n\), the target is \(G(n)=\Gamma(n+1/2)/\Gamma(n)\). The analytic main term is \(\sqrt n\); the fit uses the actual logarithmic residual \(r(n)=\log G(n)-\tfrac12\log n\). The model has six coefficients, including the intercept:
Koeficienty určujeme metódou najmenších štvorcov pomocou QR rozkladu pri 80 desatinných čísliciach v škálovanej premennej \(u=200/n\). Tréningová množina je presne \(\{200,400,600,800,1000,1200,1400,1600,1800\}\). Hodnoty rezídua na týchto bodoch pochádzajú z vysoko presného výpočtu logaritmu funkcie Gamma. Po vytvorení a uložení modelu vyhodnotenie nového bodu používa polynóm, exponenciálu a odmocninu. Natívny výpočet polynómu používa Hornerovu schému v premennej \(u\); koeficient pri \(u^j\) je \(b_j/200^j\).
Coefficients are obtained by least squares using QR at 80 decimal digits in the scaled variable \(u=200/n\). The training set is exactly \(\{200,400,600,800,1000,1200,1400,1600,1800\}\). Residuals at these points come from high-precision log-Gamma evaluation. Once the model has been constructed and cached, evaluating a new point uses a polynomial, an exponential, and a square root. Native polynomial evaluation uses Horner's method in \(u\); the coefficient of \(u^j\) is \(b_j/200^j\).
| KoeficientCoefficient | HodnotaValue |
|---|---|
| b0 | -1.567815419190325660e-22 |
| b1 | -1.249999999999999992e-1 |
| b2 | -1.458113452781048714e-15 |
| b3 | 5.208333334647407461e-3 |
| b4 | -5.765416527716272094e-10 |
| b5 | -1.562397134688411041e-3 |
Maximálna absolútna chyba logaritmického rezídua na tréningu je približne \(8{,}532\times10^{-25}\). Je to diagnostika tréningu. Chyby v ďalších bodoch sa merajú samostatne. Koeficienty s vyššou presnosťou sú v priloženom JSON reporte.
The maximum absolute log-residual error on the training set is approximately \(8.532\times10^{-25}\). This is a training diagnostic. Errors at other points are measured separately. Higher-precision coefficients are included in the accompanying JSON report.
Samostatná súčinová vetva používa presnú identitu uvedenú nižšie. Vyžaduje \(n-1\) faktorov a jej normalizácia je presne \(\sqrt\pi\). Táto konštanta sa nefitovala. Jej výsledky sú v dátovom reporte označené ako product; tabuľky \(F_5\) patria vyššie definovanému fitovanému modelu.
A separate product branch uses the exact identity below. It requires \(n-1\) factors, and its normalization is exactly \(\sqrt\pi\). This constant is not fitted. Its results are labelled product in the data report; the \(F_5\) tables refer to the fitted model defined above.
Všetky tri referenčné aproximácie používajú správne koeficienty pre ten istý Gamma pomer. Označenie \(S_2\) znamená dve korekcie po \(n^{-2}\), \(S_5\) päť korekcií po \(n^{-5}\) a \(L_5\) logaritmický rozvoj po \(n^{-5}\):
All three reference approximations use the correct coefficients for the same Gamma ratio. \(S_2\) retains two corrections through \(n^{-2}\), \(S_5\) five corrections through \(n^{-5}\), and \(L_5\) the logarithmic expansion through \(n^{-5}\):
Relatívnu chybu počítame ako \(\varepsilon(A)=|A/G-1|\). Referencia používa presný celočíselný binomický koeficient a 80-ciferné hodnoty \(\pi\) a odmocniny. Skript ju navyše kontroluje priamym vyhodnotením funkcie Gamma:
Relative error is \(\varepsilon(A)=|A/G-1|\). The reference uses an exact integer binomial coefficient and 80-digit values for \(\pi\) and the square root. The script also cross-checks it against direct Gamma evaluation:
Ide o porovnanie presnosti pri uvedených rádoch. Fit \(F_5\) zahŕňa jednorazovú cenu prípravy modelu; \(L_5\) má iba tri nenulové logaritmické korekcie. Čas výpočtu ani porovnanie pri rovnakej výpočtovej cene sa v tomto meraní nevyhodnocovali.
This compares accuracy at the declared orders. The \(F_5\) fit includes a one-time model-construction cost; \(L_5\) has only three nonzero logarithmic corrections. Runtime and equal-computational-cost performance were not measured in this experiment.
Tabuľka obsahuje všetkých 15 bodov z reportu. Hviezdička označuje šesť pôvodných demonštračných bodov; \(n=1000\) je zároveň tréningový bod a nepatrí do nezávislej kontroly. Deväť pridaných kontrolných bodov \(\{25,75,150,250,750,1250,1750,2500,5000\}\) sa pri fite nepoužilo. Body mimo intervalu \([200,1800]\) sú označené ako extrapolácia.
The table contains all 15 points from the report. An asterisk marks the six original demonstration points; \(n=1000\) is also a training point and is not part of the held-out evaluation. The nine additional check points \(\{25,75,150,250,750,1250,1750,2500,5000\}\) were not used in fitting. Points outside \([200,1800]\) are marked as extrapolation.
Každá aproximácia v prvej tabuľke sa vyhodnocuje priamo v natívnej aritmetike binary64 (Python float). Fitovanie a výpočet chyby voči referencii používajú 80 desatinných číslic. Menšie číslo v tabuľke znamená menšiu relatívnu chybu.
Each approximation in the first table is evaluated directly in native binary64 arithmetic (Python float). Fitting and error evaluation against the reference use 80 decimal digits. A smaller table entry means a smaller relative error.
| n | Použitie boduPoint status | MVDC F₅ | S₂ | S₅ | L₅ |
|---|---|---|---|---|---|
| 20* | extrapoláciaextrapolation | 8.944e-13 | 6.097e-7 | 4.169e-12 | 9.231e-13 |
| 25 | extrapoláciaextrapolation | 1.847e-13 | 3.123e-7 | 1.044e-12 | 1.938e-13 |
| 50* | extrapoláciaextrapolation | 1.257e-15 | 3.905e-8 | 1.473e-14 | 1.509e-15 |
| 75 | extrapoláciaextrapolation | 8.797e-18 | 1.157e-8 | 1.242e-15 | 8.797e-18 |
| 100* | extrapoláciaextrapolation | 1.056e-17 | 4.882e-9 | 1.884e-16 | 1.056e-17 |
| 150 | extrapoláciaextrapolation | 4.819e-17 | 1.447e-9 | 9.697e-17 | 4.819e-17 |
| 250 | mimo tréningu, v intervaleheld out, within interval | 7.802e-17 | 3.125e-10 | 7.802e-17 | 7.802e-17 |
| 500* | mimo tréningu, v intervaleheld out, within interval | 4.391e-18 | 3.906e-11 | 4.391e-18 | 4.391e-18 |
| 750 | mimo tréningu, v intervaleheld out, within interval | 7.160e-17 | 1.157e-11 | 7.160e-17 | 7.160e-17 |
| 1000* | tréningtraining | 8.529e-19 | 4.883e-12 | 8.529e-19 | 8.529e-19 |
| 1250 | mimo tréningu, v intervaleheld out, within interval | 1.635e-17 | 2.500e-12 | 1.635e-17 | 1.635e-17 |
| 1750 | mimo tréningu, v intervaleheld out, within interval | 2.512e-17 | 9.111e-13 | 2.512e-17 | 2.512e-17 |
| 2000* | extrapoláciaextrapolation | 1.092e-16 | 6.102e-13 | 1.092e-16 | 1.092e-16 |
| 2500 | extrapoláciaextrapolation | 5.544e-17 | 3.125e-13 | 5.544e-17 | 5.544e-17 |
| 5000 | extrapoláciaextrapolation | 1.174e-16 | 3.907e-14 | 1.174e-16 | 1.174e-16 |
Náskok šesť rádov sa potvrdil pre konkrétne porovnania. Napríklad pri \(n=25\) je chyba \(S_2\) približne \(1{,}69\times10^6\)-krát väčšia než chyba \(F_5\); pri \(n=50\) približne \(3{,}11\times10^7\)-krát. Oba body ležia mimo tréningu. Pri \(n=20\) je pomer približne \(6{,}82\times10^5\), pri \(n=2000\) približne \(5{,}59\times10^3\). Tvrdenie preto viažeme na konkrétny bod a dvojčlenný rozvoj \(S_2\).
A six-order advantage is confirmed for specific comparisons. At \(n=25\), for example, the error of \(S_2\) is approximately \(1.69\times10^6\) times that of \(F_5\); at \(n=50\), approximately \(3.11\times10^7\) times. Both points are outside training. At \(n=20\), the ratio is approximately \(6.82\times10^5\); at \(n=2000\), approximately \(5.59\times10^3\). The claim is therefore tied to a particular point and the two-correction expansion \(S_2\).
Vyššie rády \(S_5\) a \(L_5\) dosahujú na mnohých bodoch rovnaký výsledok v binary64 ako \(F_5\). Veľmi malé relatívne chyby môžu vzniknúť aj priaznivým zaokrúhlením konkrétnej hodnoty; neznamenajú, že binary64 získalo viac platných číslic všeobecne. Rozdiely aproximácií pod touto úrovňou ukazuje samostatné meranie pri 80 čísliciach.
At many points, the higher-order \(S_5\) and \(L_5\) formulas produce the same binary64 result as \(F_5\). Very small relative errors can also result from favourable rounding of a particular value; they do not imply that binary64 generally gains more significant digits. A separate 80-digit measurement exposes approximation differences below this level.
| n | Použitie boduPoint status | MVDC F₅ | S₂ | S₅ | L₅ |
|---|---|---|---|---|---|
| 20* | extrapoláciaextrapolation | 8.945e-13 | 6.097e-7 | 4.170e-12 | 9.232e-13 |
| 25 | extrapoláciaextrapolation | 1.847e-13 | 3.123e-7 | 1.044e-12 | 1.938e-13 |
| 50* | extrapoláciaextrapolation | 1.270e-15 | 3.905e-8 | 1.479e-14 | 1.517e-15 |
| 75 | extrapoláciaextrapolation | 6.082e-17 | 1.157e-8 | 1.254e-15 | 8.881e-17 |
| 100* | extrapoláciaextrapolation | 6.160e-18 | 4.882e-9 | 2.192e-16 | 1.186e-17 |
| 150 | extrapoláciaextrapolation | 1.487e-19 | 1.447e-9 | 1.889e-17 | 6.940e-19 |
| 250 | mimo tréningu, v intervaleheld out, within interval | 2.025e-21 | 3.125e-10 | 8.683e-19 | 1.943e-20 |
| 500* | mimo tréningu, v intervaleheld out, within interval | 1.174e-23 | 3.906e-11 | 1.341e-20 | 1.518e-22 |
| 750 | mimo tréningu, v intervaleheld out, within interval | 1.399e-24 | 1.157e-11 | 1.173e-21 | 8.884e-24 |
| 1000* | tréningtraining | 8.532e-25 | 4.883e-12 | 2.084e-22 | 1.186e-24 |
| 1250 | mimo tréningu, v intervaleheld out, within interval | 2.450e-27 | 2.500e-12 | 5.456e-23 | 2.487e-25 |
| 1750 | mimo tréningu, v intervaleheld out, within interval | 1.771e-25 | 9.111e-13 | 7.237e-24 | 2.359e-26 |
| 2000* | extrapoláciaextrapolation | 2.464e-24 | 6.103e-13 | 3.247e-24 | 9.264e-27 |
| 2500 | extrapoláciaextrapolation | 9.755e-24 | 3.125e-13 | 8.506e-25 | 1.943e-27 |
| 5000 | extrapoláciaextrapolation | 5.052e-23 | 3.906e-14 | 1.328e-26 | 1.518e-29 |
Pri 80 čísliciach má napríklad \(F_5\) v bode \(n=500\) chybu \(1{,}174\times10^{-23}\), kým \(L_5\) má \(1{,}518\times10^{-22}\). Pri extrapolácii do \(n=5000\) sa poradie obracia: \(F_5\) má \(5{,}052\times10^{-23}\), \(L_5\) má \(1{,}518\times10^{-29}\). Fit je užitočná aproximácia v overenej oblasti; jeho konečná tréningová chyba sama osebe nezaručuje asymptotické správanie ani rovnaký náskok pre všetky \(n\).
At 80 digits, for example, \(F_5\) has error \(1.174\times10^{-23}\) at \(n=500\), while \(L_5\) has \(1.518\times10^{-22}\). On extrapolation to \(n=5000\), the order reverses: \(F_5\) has \(5.052\times10^{-23}\), and \(L_5\) has \(1.518\times10^{-29}\). The fit is a useful approximation in the examined region; its finite training error alone does not guarantee asymptotic behaviour or the same advantage for all \(n\).
Rovnaký spôsob fitovania logaritmického rezídua bol overený aj pre centrálne binomické koeficienty a konečný Wallisov súčin. Tieto merania používajú 80-cifernú aritmetiku. Všetkých šesť uvedených bodov leží mimo príslušných tréningových množín.
The same log-residual fitting approach was also evaluated for central binomial coefficients and the finite Wallis product. These measurements use 80-digit arithmetic. All six listed points are outside the respective training sets.
Tréning: \(50,60,\ldots,500\). Fit \(F_5\) má stupeň 5 v premennej \(1/n\). Kaskáda \(3+7\) najprv fituje logaritmické rezíduum stupňom 3 a potom jeho zostávajúcu chybu stupňom 7. Výsledná logaritmická korekcia má najviac stupeň 7, teda vyšší stupeň než samostatný \(F_5\). Analytická referencia používa \(H_B\) krát polynóm zo vzorca \(S_5/\sqrt n\); presná referencia je celočíselné \(\binom{2n}{n}\).
Training: \(50,60,\ldots,500\). The \(F_5\) fit has degree 5 in \(1/n\). The \(3+7\) cascade first fits the log residual with degree 3, then its remaining error with degree 7. The resulting log correction has degree at most 7, higher than the standalone \(F_5\). The analytic approximation uses \(H_B\) times the polynomial from \(S_5/\sqrt n\); the exact reference is the integer \(\binom{2n}{n}\).
| n | Použitie boduPoint status | F₅ | Kaskáda 3+7Cascade 3+7 | Analytický rad po n⁻⁵Analytic series through n⁻⁵ |
|---|---|---|---|---|
| 25 | extrapoláciaextrapolation | 7.140e-14 | 1.114e-16 | 1.044e-12 |
| 75 | mimo tréningu, v intervaleheld out, within interval | 1.524e-18 | 2.259e-23 | 1.254e-15 |
| 125 | mimo tréningu, v intervaleheld out, within interval | 4.085e-19 | 5.420e-24 | 5.682e-17 |
| 255 | mimo tréningu, v intervaleheld out, within interval | 8.985e-20 | 1.081e-23 | 7.706e-19 |
| 750 | extrapoláciaextrapolation | 3.580e-18 | 1.760e-22 | 1.173e-21 |
| 1250 | extrapoláciaextrapolation | 7.916e-18 | 5.281e-22 | 5.456e-23 |
Tréning: \(20,40,\ldots,500\). Porovnávame fit logaritmického rezídua stupňa 5 s analytickým multiplikatívnym rozvojom po \(n^{-5}\). Posledná identita poskytuje nezávislú referenciu cez presný celočíselný binomický koeficient.
Training: \(20,40,\ldots,500\). The degree-5 log-residual fit is compared with the analytic multiplicative expansion through \(n^{-5}\). The last identity provides an independent reference via the exact integer binomial coefficient.
| n | Použitie boduPoint status | F₅ | Analytický rad po n⁻⁵Analytic series through n⁻⁵ |
|---|---|---|---|
| 25 | mimo tréningu, v intervaleheld out, within interval | 3.002e-13 | 3.830e-11 |
| 75 | mimo tréningu, v intervaleheld out, within interval | 8.701e-16 | 5.324e-14 |
| 125 | mimo tréningu, v intervaleheld out, within interval | 3.892e-16 | 2.490e-15 |
| 255 | mimo tréningu, v intervaleheld out, within interval | 2.120e-16 | 3.462e-17 |
| 750 | extrapoláciaextrapolation | 1.237e-15 | 5.355e-20 |
| 1250 | extrapoláciaextrapolation | 2.410e-15 | 2.499e-21 |
Kaskáda zlepšuje samostatný binomický fit vo všetkých šiestich meraných bodoch, pričom používa vyšší stupeň. Pri \(n=1250\) je však analytický binomický rozvoj presnejší aj než kaskáda. Pri Wallisovom súčine vyhráva analytický rozvoj už v kontrolnom bode \(n=255\) vnútri tréningového intervalu, ako aj pri oboch uvedených extrapoláciách. Každá rodina a zvolený rád preto potrebujú vlastné overenie.
The cascade improves on the standalone binomial fit at all six measured points while using a higher degree. At \(n=1250\), however, the analytic binomial expansion is more accurate even than the cascade. For the Wallis product, the analytic expansion wins already at the held-out point \(n=255\) within the training interval, as well as at both listed extrapolation points. Each family and selected order therefore require their own evaluation.
Stiahnuť kompletný numerický report (JSON). Súbor obsahuje všetky uvedené chyby, hodnoty Gamma referencie, koeficienty fitu, príznaky tréningu a extrapolácie, verzie knižníc a SHA-256 šiestich zdrojových súborov. Tabuľky sú zaokrúhleným prepisom tohto reportu.
Download the complete numerical report (JSON). It contains all listed errors, Gamma reference values, fit coefficients, training and extrapolation flags, library versions, and SHA-256 hashes of six source files. The tables are rounded transcriptions of this report.
Meranie vzniklo 19. októbra 2026 o 08:20 UTC v prostredí Python 3.13.5 a mpmath 1.3.0. Pri kontrole opravenej implementácie prešlo 34 jednotkových testov, dva samostatné overovacie skripty matematických vzorcov a kontrola behu 16 konzolových vstupov. Tieto kontroly overujú implementáciu a uvedené konečné prípady.
The measurement was generated on 19 October 2026 at 08:20 UTC with Python 3.13.5 and mpmath 1.3.0. Validation of the repaired implementation passed 34 unit tests, two separate mathematical-formula verification scripts, and execution checks for 16 command-line entry points. These checks validate the implementation and the stated finite cases.
Príkaz na vytvorenie reportu v repozitári MVDC je uvedený nižšie. Pri reprodukcii treba použiť verziu zdrojov zodpovedajúcu hashom v reporte; aktuálnosť ľubovoľnej inej kópie repozitára sa tým nepredpokladá.
The report-generation command in the MVDC repository is shown below. Reproduction requires source versions matching the hashes recorded in the report; this does not assume that an arbitrary other repository copy is up to date.
python -X utf8 -B experiments/compare_accuracy.py --output-json reports/mvdc-validation-2026-10-19.jsonReferenčný text je opravené PDF publikované 12. augusta 2026. Dátum v samotnom dokumente je 11. august 2026.
The reference text is the corrected PDF published on 12 August 2026. The document itself is dated 11 August 2026.
Pôvodná všeobecná publikácia z roku 2025 obsahuje chybný argument o optimalite centra a nepodložené porovnanie presnosti. Je dostupná ako výskumný archív. Matematický rámec na tejto stránke vychádza z opravenej augustovej práce; výsledky fitovania a porovnania presnosti pochádzajú z numerickej aktualizácie z 19. októbra 2026. Výsledky tejto aktualizácie nahrádzajú staršie porovnanie pre uvedené vzorce a merané body.
The original general paper from 2025 contains an incorrect centre-optimality argument and an unsupported accuracy comparison. It remains available as a research archive. The mathematical framework on this page follows the revised August paper; the fitted-centre results and accuracy comparisons come from the numerical update of 19 October 2026. That update supersedes the earlier comparison for the stated formulas and measured points.