Pri práci s Robinovou nerovnosťou sa prirodzene objavil vedľajší objekt, ktorý je zaujímavý samostatne: veľmi tesná formula pre súčet recipročných prvočísel na prvočíselných endpointoch \(p_k\). V prvej verzii sme hovorili o kalibrovanej konštante \(C\). Aktuálna verzia je silnejšia: potrebný prah už nevyberáme ručne, ale počítame ho ako \(C_{\rm req}^{\Theta}(x)\) z theta-blokovej obálky pre CA deficit a potom ho dosadzujeme do Route-II rezervy.

Základný vzťah

Klasický Mertensov tvar hovorí, že

kde

je Meisselova-Mertensova konštanta pre prvočísla. Náš výpočet sa nezastavuje pri členoch \(\log\log x+B\). Na prime endpointoch \(x=p_k\) definujeme normalizovanú osciláciu

Potom presne platí identita

Samotná identita je len prepis. Zaujímavé je numerické správanie \(C_{\rm osc}(p_k)\). V testoch do \(p_k\le 10^9\) sa táto hodnota správa ako malá oscilujúca konštanta, nie ako veličina, ktorá rýchlo rastie.

Počítaný prah

Starý zápis testoval, aká pevná hodnota \(C\) ešte prekryje osciláciu. Teraz používame presnejší zápis: skutočnú prime-endpoint osciláciu označíme

Potrebný prah sa počíta z CA deficitnej obálky. Pre CA podporu s endpointom \(x=p_k\) píšeme

Tu \(\Phi^{\vartheta}_{S,r}(x)\) nie je nameraný profil. Je to konečná theta-bloková dolná obálka deficitu, zostavená z explicitných hraníc pre Chebyshevovu funkciu \(\vartheta(x)\). V našom audite používame geometrický blokový pomer \(r=1.30\). Toto číslo teda už nie je finálna fitovaná konštanta v harmonickej formule.

Po dosadení do Route-II účtovníctva dostaneme vypočítaný normalizovaný prah

Výsledná horná podmienka na harmonickú osciláciu má tvar

Kľúčový rozdiel je tento: \(C_{\rm req}^{\Theta}(x)\) už nie je hádaná ani spätne fitovaná hodnota. Vznikne výpočtom z theta-blokovej CA obálky a z Route-II algebry.

Čo vyšlo po dosadení

Na podporách testovaných v novej kontrole vyšla prísnejšia obálka stále nad reálnou osciláciou. Tabuľka porovnáva pôvodný prah z reálnej CA rezervy, nový theta-blokový prah, skutočnú osciláciu a rezervu:

\(x\)	\(C_{\rm req}^{\rm act}\)	\(C_{\rm req}^{\Theta}\)	\(C_{\rm actual}\)	rezerva
6 382 007	1.563181	0.850094	0.770993	0.079100
12 253 883	1.768796	1.089638	0.976166	0.113472
29 093 377	1.629640	0.980350	0.836043	0.144308
56 048 351	1.477260	0.862847	0.697665	0.165182
108 115 627	1.789141	1.189125	0.996545	0.192579
175 589 599	2.044976	1.464313	1.253114	0.211199
499 283 831	2.029917	1.472536	1.272876	0.199660
966 679 613	1.699811	1.161780	0.910342	0.251438

Najmenšia pozorovaná rezerva v tejto tabuľke je \(0.079100\) pri \(x=6\,382\,007\). Nový theta-blokový prah je zároveň prísnejší: oproti prahu z reálne meranej CA rezervy klesá približne o

Ako to súvisí s RH

Ak platí Riemannova hypotéza, potom sú oscilácie prvočíselných funkcií kontrolované oveľa silnejšie než v bezpodmienečných odhadoch. Klasická cesta ide cez Chebyshevovu funkciu \(\theta(x)\) a identitu typu Rosser-Schoenfeld

Táto formula ukazuje, že chyba v súčte recipročných prvočísel je priamo viazaná na osciláciu \(\theta(x)-x\). Štandardné explicitné dôsledky RH však typicky dávajú širšiu absolútnu obálku, napríklad škálu \(O(\log x/\sqrt{x})\). Route-II podmienka, ktorú tu sledujeme, potrebuje jemnejší prime-endpoint tvar

Ak by sa táto kontrola udržala na CA podpore smerom do nekonečna, dáva presne rezervu, ktorú potrebuje naša Robin/MVDC route. Nový posun je v tom, že pravá strana už nie je voľne zvolená konštanta: \(C_{\rm req}^{\Theta}(x)\) je vypočítaný prah z theta-blokovej CA obálky.

Prečo je to zaujímavé

Bežné explicitné odhady pre \(\sum_{p\le x}1/p\) sú formulované v mocninách \(\log x\), napríklad v tvare \(1/\log^3 x\). Tie sú rigorózne, ale pre veľké \(x\) sú v tejto konkrétnej aplikácii oveľa hrubšie. Náš tvar používa korekciu s počítaným prahom

ktorá je na testovanej CA podpore tesná a zároveň prísnejšia než prah získaný z reálne meranej CA rezervy. To je podstatné: už nesledujeme iba to, či sa dá nájsť pekná konštanta, ale či analyticky konštruovaná obálka stále necháva kladnú rezervu nad reálnou prime-endpoint osciláciou.

While working with Robin's inequality, a side object appeared that is interesting on its own: a very sharp formula for the reciprocal-prime harmonic sum at prime endpoints \(p_k\). In the first version we described this through a calibrated constant \(C\). The updated version is stronger: the required threshold is now computed as \(C_{\rm req}^{\Theta}(x)\) from a theta-block envelope for the CA deficit and then inserted into the Route-II reserve.

The relation

The classical Mertens shape is

At prime endpoints \(x=p_k\), define

Then the exact identity is

The identity itself is just a renormalisation. The interesting part is the numerical behaviour: up to \(p_k\le 10^9\), \(C_{\rm osc}(p_k)\) behaves like a small oscillating constant.

The computed threshold

The older notation asked which fixed value \(C\) still covers the oscillation. The sharper notation records the actual prime-endpoint fluctuation as

The required threshold is computed from a CA deficit envelope. For a CA support endpoint \(x=p_k\), write

Here \(\Phi^{\vartheta}_{S,r}(x)\) is not a measured profile. It is a finite theta-block lower envelope for the deficit, built from explicit bounds for Chebyshev's function \(\vartheta(x)\). In the current audit we use the geometric block ratio \(r=1.30\). That number is no longer the final fitted constant in the harmonic formula.

Inserting this into the Route-II ledger gives the computed normalized threshold

The resulting upper condition for the harmonic oscillation is

The key point is that \(C_{\rm req}^{\Theta}(x)\) is no longer guessed or fitted after the fact. It is computed from the theta-block CA envelope and the Route-II algebra.

What the substitution gives

On the support points tested in the new check, the stricter envelope remains above the actual oscillation. The table compares the old threshold from the measured CA reserve, the new theta-block threshold, the actual oscillation, and the margin:

\(x\)	\(C_{\rm req}^{\rm act}\)	\(C_{\rm req}^{\Theta}\)	\(C_{\rm actual}\)	margin
6 382 007	1.563181	0.850094	0.770993	0.079100
12 253 883	1.768796	1.089638	0.976166	0.113472
29 093 377	1.629640	0.980350	0.836043	0.144308
56 048 351	1.477260	0.862847	0.697665	0.165182
108 115 627	1.789141	1.189125	0.996545	0.192579
175 589 599	2.044976	1.464313	1.253114	0.211199
499 283 831	2.029917	1.472536	1.272876	0.199660
966 679 613	1.699811	1.161780	0.910342	0.251438

The smallest observed margin in this table is \(0.079100\) at \(x=6\,382\,007\). The new theta-block threshold is also stricter: compared with the threshold from the measured CA reserve, it drops by approximately

Relation to RH

If the Riemann Hypothesis holds, the oscillations of prime-counting functions are controlled much more strongly than in unconditional estimates. The classical route goes through \(\theta(x)\) and the Rosser-Schoenfeld identity

Standard explicit consequences of RH still usually give a wider absolute envelope, such as \(O(\log x/\sqrt{x})\). The Route-II condition studied here asks for the finer prime-endpoint shape

If this control persists on the CA support toward infinity, it supplies exactly the reserve required by our Robin/MVDC route. The new point is that the right-hand side is not a freely chosen constant: \(C_{\rm req}^{\Theta}(x)\) is computed from the theta-block CA envelope.

Why it matters

Common explicit estimates for \(\sum_{p\le x}1/p\) are often stated in powers of \(\log x\), for example as \(1/\log^3 x\). They are rigorous, but much wider for this particular route. The present shape uses a computed threshold:

On the tested CA support it is tight and still leaves positive margin above the measured prime-endpoint oscillation. So the question is no longer only whether a nice constant can be fitted, but whether an analytically constructed envelope keeps that margin.